矩阵的特征值与特征向量分析及应用-毕业论文(编辑修改稿)

矩阵的特征值与特征向量分析及应用-毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

构成 V2的一个基，所以 V2＝ L（ α 1+α 2+α 3）．因此 σ 的属于特征根 2 的一切特征向量为 k（ α 1+α 2+α 3）， k∈ R， k≠ 0． ④ 注意：求 A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在 C 内讨论；表示属于某个特 征根的特征向量 (关于基础解系 )组合系数要取自指定的数域 F(或 C)，且不全为零 矩阵的特征值与特征向量分 析及应用 9 第三章 特征值和特征向量在生活中的应用 矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用 .其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（ Leslie）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。 经济发展与环境污染的增长模型 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题 .为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型： 设 00,yx 分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平， 11,yx 分别为该地区 若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系： 令 则上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系 . 如 则由上式得 由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平 . 一般地，若令 tt yx, 分别为该地区 t 年后的环境污染水平与经济发 展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为 001001 223 yxy yxx 111000 , yxyx   22 13A.01  A 11000 yx001 4114441122 13   A),2,1(2231111 ktyxy yxxtttttt 矩阵的特征值与特征向量分 析及应用 10 令 则上述关系的矩阵形式为 由此，有 由此可预测该地区 t年后的环境污染水平和经济发展水平 . 下面作进一步地讨论： 由矩阵 A 的特征多项式 得 A 的特征值为 对 度 41 ，解方程 0)4(  XAE 得特征向量 对 11 ，解方程 0)(  XAE 得特征向量 显然 , 21, 线性无关 下面分三种情况分析： Case 1 一个性质 :若  是矩阵 A的属于特征值  的特征向 ,则  也是 kA 的属于特征值 k 的特征向量 度 (*) 由 (*)及特征值与特征向量的性质知， 即 或  ttt yxktA tt ,2,1,1  .)(,010323021201ttt AAAAAAA )1)(4(22 13||    AE1,4 21   111 212 1110  1141110 ttttt AA  114tttyx ttt yx 4矩阵的特征值与特征向量分 析及应用 11 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下， t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势 . 020 y  不讨论此种情况 0 不是特征值 ,  不能类似分析。 但是 0 可以由 21 ， 唯一线性表出来 210 23   由 (*)及特征值与特征向量的性质 即 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平 . 因无实际意义而在 Case 2 中未作讨论，但在 Case3 的讨论中仍起到了重要作用 . 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用 .   212 20 C as e 713 0C as e,221121210443243211211432323)23(ttttttttttt AAAA,443243 ttttyx,243  ttx 443  tty2矩阵的特征值与特征向量分 析及应用 12 莱斯利（ Leslie）种群模型 莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为 L(单位：年），将区间 [0,L]作 n 等分得n 个年龄组 每个年龄组的长度为 设第 i 个年龄组 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为 α i，存活率（即第 i个年龄组中可存活到第 i+1个年龄组的雌性动物的数目与 第 i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为 bi。 令 即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年 龄分布向量。 取 设在时刻 tk 该动物种群的第 i 个年龄组中雌性动物的数目为 令 则 X(k)即为时刻 tk 该动物种群中雌性动物的年龄分布向量 .显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化 . 易知，时刻 tk 该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段[tk1,tk]内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即。