矩阵特征值和特征向量的求法与应用毕业论文(编辑修改稿)

矩阵特征值和特征向量的求法与应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

考虑 n阶矩阵的情况： 设矩阵 nnRA  是对称矩阵，记 AA0 ，对 A 作一系列旋转相似变换，即 ),2,1(1   kPAPA Tkkkk 其中  ,2,1kAk 仍是对称矩阵， kP 的形式 )()()()( kijkijkjjkii PPPP  也就是  s in,c o s )()()()(  kqpkpqkqqkpp pppp qpjipp kijkii ,01 )()(  对任何角  ，可以验证： kP 是一个正交阵，我们称它是  ji, 平面上的旋转矩阵， 相应地把变换（ ）称为旋转变换； kP 和 Ｉ 仅在 ii, 、  jj, 、  ji, 和  ij, 上不同， 1kkAP只改变 1kA 的第 p 行，第 q 行的元素， kkk PAP 1 只改变 A 的第 p 行、 q 行、 p 列、 q 列的元素； kA 和 1kA 的元素仅在第 p 行（列）和第 q 行（列）不同，它们之间有如下的关系： 南京师范大学泰州学院毕业论文 9 qpiaaaa aaaa kqikiqkipkiqkpikiqkipkip ,c oss i ns i nc os)()1()1()()()1()1()(   )s i n( c osc oss i nc osc oss i n2s i ns i nc oss i n2c os22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(2)1()1(2)1()(kpqkqqkppkpqkqqkpqkppkqqkqqkpqkppkppaaaaaaaaaaaa 我们选取 kP ，使得 0)( kpqa ，因此需使  满足 )1()1()1(22tan kqqkppkpqaa a 常将  限制在下列范围内 44   如果 0)1()1(   kqqkpp aa ，当 0)1( kpqa 时，取 4 ；当 0)1( kpqa 时，取 4  实际上不需要计算  ，而直接从三角函数关系式计算 sin 和 cos ，记     )1()1()1()1()1(2s g n kijkjjkiikjikiiaaaxaay 则 yx2tan 当 4 时，有下面三角恒等式： 2222 2t a n112c os1c os2 yx y  于是 222 1c os2 yxy cos 始终取正值 ， 关于 2sin 的计算有几种方法，最简单的一种是利用公式 22 cos1sin  ，这个方程有一个缺点，当 2cos 接近于 1 时， 2cos1 的有效位数就不多了，为避免这个缺点，采用下面公式计算 sin 222c os2t a nc oss i n22s i n yxx  南京师范大学泰州学院毕业论文 10 由于 kA 的对称性，实际上只要计算 kA 的上三角元素，而下三角元素由对称性获得，这样即节省了计算量，又能保证 kA 是严格对称的。 一般地，不能指望通过有限次旋 转变换把原矩阵 A 化为对角阵，因为 1kA 中的零元素（在前面变换中得到的）可能在 kA 中成为非零元素，尽管如此，仍可以证明：  ikA diag 当 k 时 其中 1 是矩阵 A的特征值，但没有一定的大小排列顺序 . 例 用雅可比方法求矩阵 210121012A 的特征值与特征向量 . 解 ： 首先取 2,1  ji ,由于 22211 aa ,故取 4 ,所以  1000212102121121 PP 2212121302101111 APPAT 再取 3,1  ji 由 221 )21(22t an  得 88 os,45 in   所以  0102P 南京师范大学泰州学院毕业论文 11 222 APPA T 继续做下去 ,直到非对角线元素趋于零 ,进行九次变换后 ,得 4 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 7 5 9A 9A 的对角线元素就是 A的特征值，即 4 1 4 2 ,0 0 0 0 ,5 8 7 5 321   相应的特征向量为  ,321  相应的特征值的精确值 22,2,22 321   相应的特征向量为  212121,21021,212121321  由此可见，雅可比方法变换九次的结果已经相当精确了 . QR 法求特征值与特征向量 QR 算法也是一种迭代算法 ,是目前计算任意实的非奇异矩阵全部特征值问题的最有效的方法之一 .该方法的基础是构造矩阵序列  KA ,并对它进行 QR 分解 . 由线性代数知识知道 ,若 A 为非奇 异方阵 ,则 A 可以分解为正交矩阵 Q 与上三角形矩阵 R 的乘积 ,即 QRA ,而且当 R 的对角线元素符号取定时 ,分解式是唯一的 . 若 A 为奇异方阵 ,则零为 A 的特征值 .任取一数 p 不是 A 的特征值 ,则 pIA 为非奇南京师范大学泰州学院毕业论文 12 异方阵 .只要求出 pIA 的特征值 ,就很容易求出 A 的特征值 ,所以假设 A 为非奇异方阵 ,并不妨碍讨论的一般性 . 设 A 为非奇异方阵 ,令 AA1 ,对 1A 进行 QR 分解 ,即把 1A 分解为正交矩阵 1Q 与上三角形矩阵 1R 的乘积 111 RQA 做矩阵 111112 QARA T 继续对 2A 进行 QR 分解 222 RQA 并定义 222223 QARA T 一般地 ,递推公式为 111 RQAA  ,3,2,1  KQARA KKTKKKK QR算法就是利用矩阵的 QR分解 ,按上述递推公式构造矩阵序列 KA .只要 A为非奇异方阵 ,则由 QR算法就完全确定 KA .这个矩阵序列 KA 具有下列性质 . 性质 1 所有 KA 都相似 ,它们具有相同的特征值 . 证明 因为 KKTKKKK QARA 1   KKKTKTK A 111 KTTKTK A  2111 若令 KK 21 ,则 KQ 为正交阵 ,且有 KTKK A  因此 KA 与 A 相似 ,它们具有相同的特征值 . 性质 2 KA 的 QR 分解式为 KKK RQA  其中 1121 , RRRR kkkkk   证明 用归纳法 .显然当 k=1 时 ,有 111 RQAA  假设 1kA 有分解式 111   kkk RQA 于是 11121 )( RRRRQ kkkkkk   11  kkk RAQ 因为 11  kTkk AA ,所以 kkkkkk ARQARQ   11 南京师范大学泰州学院毕业论文 14 因为 kQ , ,21  都是正交阵 ,所以 kQ 也是正交阵 ,同样 kR 也是上三角形阵 ,从而 kA 的QR 分解式为 kkk RQA  由前面的讨论知 kTkk AA 1 .这说明 QR 算法。