第九章离散傅立叶变换以及其它离散正交变换(编辑修改稿)

第九章离散傅立叶变换以及其它离散正交变换(编辑修改稿)内容摘要：

                  00ssssssssEDBC ΦλC ΦRBEΦλΦΛ                             零状态解零输入解sLtsLsLtsLsLsLtEDBΦCλΦCrEBΦλΦλ11111100因而时域表示式为 可见 ， 在计算过程中最关键的一步是求。  sΦX 第 40 页       sss EDBC ΦR     DBC ΦH  ss若系统为零状态的，则 则系统的转移函数矩阵为 是第 i个输出分量对第 j个输入分量的转移函数。                sHsHsHsHsHsHsHsHsHnmnnmm211222111211H sHij       则，的拉氏反变换为，的拉氏反变换为设 tsts hHφΦ                      零状态解零输入解ttttttttehλC φreBφλφλ00X 第 41 页 1．矩阵指数 的定义 二．用时域法求解状态方程 (一 )矩阵指数 !1 !121e022 kkkkkt tktkttI AAAAA 。 tAeA kk式中 为 方阵 , 也是一个 方阵 tAekk AAIAAAAAAAtttttttteeeddee ee1 X 第 42 页 (二 )用时域方法求解状态方程 1. 求状态方程和输出方程      tttt BeA λλ dd若已知     000021kλ并给定起始状态矢量 对式 (1)两边左乘 ，移项有 tAe     tttt ttt BeA λλ AAA   eedde(1) 化简，得      eedd ttt tt Beλ AA  X 第 43 页 两边取积分，并考虑起始条件，有       tt t0 d)(e0e  Beλλ AA对上式两边左乘 ，并考虑到 ，可得 tAe ee IAA  tt            e0ede0e 0 tt ttt tt eBλBeλλ AAAA                     ]e[0e de0e 0    零状态解零输入解ttttttttttteD δBCλCDeBeλCDeC λrAAAA 为方程的一般解 求输出方程 r(t) X 第 44 页 依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和 对于 方阵 A有如下特性： kk。 如何求 凯莱 哈密顿定理（ CayleyHamiton theorem）：  kjbbbb kkj   ,112210 AAAIA 也即 ， 对于 ， 可利用 以下幂次的各项之和表示 ， 式中 为各项系数。 kj jA b1kAtAe k1kA tAe112210e  kkt cccc AAAIA (2) (3) X 第 45 页 式中各系数 c 都是时间 t 的函数，为书写简便省略了 变量 t。 按照凯莱 哈密顿定理 ， 将矩阵 A的特征值代入式 (2)后 ，方程仍满足平衡 ， 利用这一关系可求得式 (3)中的系数c ， 最后解出。 tAe具体计算步骤： 求矩阵 A的特征值； 将各特征值分别代入式（ 3），求系数 c。 X 第 46 页 第一种情况 A的特征值各不相同，分别为 ，代入式 (3)有 k , 21  e e e11221012122221011121211021kkkkktkktkktcccccccccccck (4) X 第 47 页 第二种情况 若 A的特征根 具有 m阶重根，则重根部分方程为 1   mkkmmmtmtmmkkttkktcmkkcmcmcmtckcctcccc1121111111211121111212110)!(!1!2)!1( !!1eedd 12eedd e11111其他非重根部分与式 (4)相同处理 ， 两者联立解得要求的系数。 (5) 北京邮电大学电子工程学院 167。 离散时间系统状态方程的建立 • 状态方程的一般形式和建立方法概述 • 由系统的输入 — 输出差分方程建立状态方程 • 给定系统的方框图或流图建立状态方程 • 由研究对象的运动规律直接建立状态方程 X 第 49 页 一．状态方程的一般形式和建立方法概述 离散系统的状态方程：一阶差分方程组 为系统的 r 个输出信号。 为系统的 m 个输入信号；      nnn k , 21     nxnxnx m, 21      nynyny r, 21为系统的状态变量； X 第 50 页                                         ],。 ,[],。 ,[],。 ,[2121212122212111nnxnxnxnnnhnynnxnxnxnnnhnynnxnxnxnnnhnymkrrmkmk输出方程：                                         ],。 ,[1],。 ,[1],。 ,[12121212122212111nnxnxnxnnnfnnnxnxnxnnnfnnnxnxnxnnnfnmkkkmkmk状态方程： X 第 51 页 如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即                                     nxbnxbnxbnananannxbnxbnxbnananannxbnxbnxbnanananmkmkkkkkkkkmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111 1 1 1状态方程： X 第 52 页                                     nxdnxdnxdnynxdnxdnxdnynxdnxdnxdnymrmrrkrkrrrmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111 输出方程： X 第 53 页 可见： •n+1时刻的状态变量是 n时刻状态变量和输入信号的函数。 •在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。 表示成矢量方程形式            1 111111。