正项级数收敛性判别法的推广本科毕业论文(编辑修改稿)

正项级数收敛性判别法的推广本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

 第 8 页 共 18页 济南大学毕业论文用纸 对 n 充分大时有 2 1 2 111nnMar 和 2212nnsMar   那么根据引理 2， 级数1 nn a收敛 （ 2） 当 p12 时 ， 对于正整数  使 12p  ， N ， 当 nN 时 ， 有 2 12nna pa   和 21112nna pa     令 11nM n ， 则 2 112 1 2nnM nMn， 而 211122nnM nMn ， 故 22nnaM 和 2 1 2 111nnaM 成立 又 2 nn M是发散的 ， 由定理 1 得 1 nn a发散 将定理 2 推广到一般的形式 ， 叙述如下： 定理 3 关于正项级数1 nn a与1 nn b， 若存在自然数 N， 当 nN 时 ， 不等式 1 1 1 11 1 1 1, , , ( 2 , )k n k n k n k n k n k k n kn n n n n k n ka b a b a b k k Na b a b a b              成立 ， 则 (1) 若级数1 nn b收敛 ， 则级数1 nn a收敛 ； (2) 若级数1 nn a发散 ， 则级数1 nn b发散 证明：由条件知 ， 若存在自然数 N， 当 nN 时 ， 不等式 ( 0 ,1 , , 1 )k n i n ik n i n iaa ikbb  成立 ， 不妨取自然数 p kN N， 并令 M= max iN i p iab， 当 N n p 时 ， m axniN i pbiaa Mbb；当 np 时 ， 则唯一存在一个自然数 1n ,使 1 1 1( 0 , 1 , , 1 )n k n i p k N i k     ， 故11n i N 第 9 页 共 18页 济南大学毕业论文用纸 若 11ni p， 则1 1 1 11 1 1 1k n i n inn k n i n iaaa Mb b b  ； 若 11ni p,则唯一存在一个自然数 2n ， 使 1 2 2 2( 0 , 1 , , 1 )n k n i i k   ， 其中 22n i N ，于是1 1 2 2 2 21 1 2 2 2 2n i k n i n in i k n i n ia a ab b b    且 2 2 1 1n i n i   由于 np ， 经过有限步 ， 假设第 s 步 ,必有 ssn i p ， 于是s s s ss s s sk n i n inn k n i n iaaa Mb b b   所以当级数1 nn b收敛 ， 则级数1 nn a收敛 ； 当级数1 nn a发散 ， 则级数1 nn b发散 证明完毕 定理 3 的推论： 推论 1 给定正项级数1 nn a， 若 11l i m l i m l i mk n k n k n kn n nn n n ka a a pa a a            ， 则 （ 1） 1p k 时 ，1 nn a收敛 ； （ 2） 1p k 时 ，1 nn a发散 证明：（ 1）当 1p k 时 ， 令 1 1 1,2s p pkk           ， 则存在实数 r1， 使得 11rs kk，令 1n rb n， 11l i m l i m l i m1rk n k nrn n nnnabknpsa k bn         ， 1111 1l i m l i m l i m11rk n k nrn n nnnab knpsa k bn         ， 1111 1l i m l i m l i m11rk n k k n krn n nn k n kab k n kpsa k bnk             第 10 页 共 18页 济南大学毕业论文用纸 于是 0 0N， 当 0kN 时 ， 有 1 1 1 11 1 1 1, , ,k n k n k n k n k n k k n kn n n n n k n ka b a b a ba b a b a b             因为级数 111 ( 1)n rnnbrn收敛 ， 由定理知 ， 级数1 nn a收敛 （ 2） 当 1p k 时 ， 令 1nb n， 11l im l im l im1k n k nn n nnnabknpa k bn        ， 1111 1l im l im l im11k n k nn n nnnabknpa k bn        ， …………… ． 1111 1l im l im l im11k n k k nn n nn k nabk n kpa k bnk         于是 0 0N， 当 0kN 时 ， 有 1 1 1 11 1 1 1, , ,k n k n k n k n k n k k n kn n n n n k n ka b a b a ba b a b a b             又因为级数111 ( 1)n rnnbrn发散 ， 定理知级数1 nn a发散 2． 2． 2 应用 举例 例 110 论  0!1  xnxnn nn 是否收敛 解： 111!1l i m l i m!nnnnnnx na xnaex nn     当 x=e 时 ， 用达朗贝尔判别法不能断定级数的敛散性 利用  12! 2 0 1n nnn n ee   第 11 页 共 18页 济南大学毕业论文用纸 此时  2 2 22421222 ! 422 2!2n n nn nnn n nn nx n xn n ea xn e naex n xn n en e n                                  当 x=e 时 ， 212lim n， 由定理 2 得 ， 级数发散 例 2：讨论21 1lnn nn 是否收敛 解 令 2 1lnna nn ， 则   2 2 222 2221 ln12 l n 2 ln1 l n 22 l n 2 2lnnnnnna nn nna nnn n n。