某些非线性常微分方程的常数变易法毕业论文(编辑修改稿)

某些非线性常微分方程的常数变易法毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

的联系，即降阶法。 最后， 我们可以得出我们做非线性常微分方程的方法可归结为：线性化，可积化，降阶化。 希望上述工作能对进一步深入研究 常数变易法的运用和 广泛应用提供必要的准备。 第 2 章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 本章分两节，第一节着重介绍关于一阶非线性常微分方程的常数变易法，第二节进行举例，以便能够更加了解解题得方法。 然后将所探讨的结果进行分析、归纳和总结，并给出每种计算方法的特点和适用条件。 一阶非线性常微分方程的常数变易法 基本类型 Ⅰ 我们知道可以通过常数变异法求解一阶线性常微分方程，而对于一阶非线性常微分方程的求解，还没有很统一，确切的解法，那我们是不是可以将常数变异法从线性常微分方程推广到非线性常微分方程上面呢。 这一章我将会对这个问题进行探讨研究。 并给出一些例子以用来验证。 其中 M（ x）， N（ y）， f（ x， y）在所考虑的区间上是连续的，且 f（ x， y）  0。 一阶非线性常微分方程的一般形式为： F（ x， y， dy/dx） =0 （ 1） 如果能从（ 1）中求出 dy/dx，并且 dy/dx 可以用下式来表示 dy/dx=M（ x） N（ y） +f（ x， y） （ 2） 可以看出（ 2）式是可分离变量的常微分方程，所以（ 2）式就可以用常数变异法来求解。 方程 dy/dx=M（ x） N（ y）是可分离变量的常微分方程，则我们分离变量可得：dy/N（ y） =M（ x） dx，两边积分可得出其通解，不妨设其通解为 G（ y） =  xc ， ，其中 c 为任意实常数。 然后我们就可得出（ 2）的通解为 y=  1 xcG  ， （ 3） 将（ 3）代入（ 2）中可得：      39。 39。 1 1() ( ) , ( ) , , ( )cx c x N G x c x f x G x c x           这是一个关于未知函数 c(x)的一阶常微分方程，如果这个方程是线性的或可分离变量的，那么即可求出未知函数 c（ x），将 c（ x）代入（ 3）即可得出（ 2）的通解。 由上可见，常数变异法可以用来求解非线性常微分方程，但是并不是所有的非线性方程都可以用常数变异法来求解。 那么还有有哪些非线性的常微分方程可以用常数变异法来求解呢。 下面给出几种。 基本类型 II 39。 39。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nf y y f y M x f y N x （ 4） 显而易见，方程 39。 39。 ( ) ( ) ( ) 0f y y f y M x是可分离变量的常微分方程，其通解为   ()M x dxf y ce （此为隐函数的形式，不用解出 y）。 设（ 4）的通解为   ()() M x dxf y c x e （ 5） 代入（ 4）中可得： ( ) ( )39。 ( ) ( ) ( )M x d x n M x d xnc x e c x e N x 这是一个可分离变量的常微分方程，其通解为：   11( 1 ) ( )( ) 1 ( ) nn M x d xc x n N x e d x  （ 6） 将（ 6）代入（ 5）中即可得（ 4）的通解。 基本类型 III 39。 ( ) ( )ny M x y y N x 可知这是伯努利方程 39。 ( ) 0y M x y的通解为：   ()M x dxf y ce 设原方程的通解为   ()() M x dxf y c x e 代入原方程可得： ( ) ( )39。 ( ) ( ) ( )M x d x n M x d xnc x e c x e N x 因其为可分离变量常微分方程，所以可求出 c（ x），伯努利方程可用常数变异法来求解。 基本类型 IV 39。 ()nyy y g xyx 39。 0yy x的通解为 cy x 设原方程的通解为： ()cxy x 代入原方程可得：  39。 ( ) ( )nnc x c x g c xxx 可知其为可分离变量的常微分方程，可求出 c（ x）。 因此这种方程可以用常数变异法来求解。 基本类型 V 39。 ()nyyy y gxx 39。 0yy x的通解为： y cx 设原方程的通解为 ()y c x x 代入原方程可得： 39。 ( ) ( ) ( ( ) )nnc x x c x x g c x 可知其为可分离变量的常微分方程，所以可以用常数变异法来求解。 基本类型 VI[12] 若非线性常微分方程的形式为： dy ( ) ( , )dx M x y N x y 假设 M（ x）， N（ x， y）在所考虑的区间上连续， N（ x， y）  0。 我们还可以推出下面三个定理： 一 ,一阶常微分方程 dy ( ) ( , )dx M x y N x y可用常数变异法求解的一个充分条件是： ( , ) ( ) nN x y N x y ， nZ ，其中 M(x)， N（ x）在所考虑的区间上连续， N（ x， y） 0。 二，一阶常微分方程 dy ( ) ( , )dx M x y N x y可用常数变异法求解 的一个充分条件是： 1( ) , ( , ) ( )yM x N x y gxx，其中 N（ x， y）在所考虑的区间上连续， N（ x， y）  0。 三，一阶常微分方程 dy ( ) ( , )dx M x y N x y可用常数变异法求解的一个充分条件是： 1( ) , ( , ) ( ) ( )yM x N x y f x gxx，其中 ( ), ( )yf x g x 在所考虑的区间上连续， N（ x， y） 0。 以上只列举了八种求解方法，当然还有其他的一些方法。 对于形如具有上述的形式即可通过各自的方法进行求解，因为并不是所有的非线性常微分方程均可以用常数变异法来求解。 若不能通过这八种方法来求解，可以按照一的方法进行求解，先将方程转变为方程（ 2）的形式，如若可以，即可用常数变异法进行求解，不然则只有另寻它途。 举例 通过 的方法，下面给出从上往下的依次举例，以便更加容易理解掌握上述方法，以使得将一阶非线性常微分方程的求解更加简便化。 基本方法 Ⅰ 求解 39。 2 2 1()y x y x y    解：将原方程化成形如（ 2）的形式 39。 1 2 2 1()y xy x y y   39。 10y xy的通解为： 2 2 2x y c 设原方程的通解为： 2 2 2 ()x y c x 代入原方程可得： 39。 2( ) ( ) ( )c x c x c x 即 ()()dcx dxcx，积分得： ln ( ) lnc x x c 即 () xc x ce 所以原方程的通解即为： 2 2 2 2xx y c e。 基本方法 Ⅱ 求方程 39。 1 c osy x ctyy x y ctyy  的通解。 解：原方程可化为 39。 1 2si n c os c osy y x y x y   即 39。 39。 1 2( c os ) c os c osy y x y x y  （即为一的形式） 39。 39。 1( c os ) c os 0y y x y的通解为 1cosy cx 设原方程的通解为 1cos ( )y c x x 代入原方程可得： 1 39。 1 2( ) ( )x c x x c x 即 39。 2() 1()cxcx积分得： 1 ()c x x c    即 1( ) ( )c x x c  所以原方程的通解为 1cos [ ( )]y x x c  基本方法 Ⅲ 求解 39。 1 2xy yx xe y 解： 39。 10y yx的通解为 cy x 设原方程的通解为 ()cxy x 代入原方程可得： 39。 2( ) ( )xc x e c x 即 39。 2()() xcxecx，积分得： 1() xc x e c   即 1( ) ( )xc x c e  所以原方程的通解为 1[ ( )]xy x c e  基本方法 IV 求解 39。 xy xyy 解： 39。 0y xy的通解为 22xy ce 设原方程的通解为： 22()xy c x e 代入原方程可得 2239。 ()()xxxc x e ecx  即 239。 ()() xxc x ecx积分可得 2( ) 2 xc x e 代入 22()xy c x e 可得： 222 xye 基本方法 V 求解 39。 1 1 se c yy yx y x 解： 39。 10y yx的通解为： y cx 设原方程的通解为 ()y c x x 代入原方程可得： 39。 1( ) se c ( ) ()c x x c x cxx 分离变量可得： 2( ) c os ( ) ( )c x c x dc x x  积分得： 1( ) sin ( ) c os ( )c x c x c x x c    因为 ()y c x x 所以将 1()c x yx 代入上式可得原方程的通解： 1sin c o sy y y cx x x x   。 基本方法 VI 求解： 21122dy y xxydx  解：方程 12dy yxdx  的通解为： y c x。 令 ()y c x x ，代入到原方程可得： 2( ) 1 ( )()22 2 ( )d c x c x x xx c xd x xx c x x   即： 1( ) ( ) 2c x dc x xdx ，此为可分离变量常微分方程，解得 ： 221() 2c x x c 所以原方程的通解为： 2312y x cx。 基本方法 VII 求解： 112dy yx yxdx  ， 0, 0xx。 解：方程 1dy yxdx  的通解为： y cx 令 ()y c x x ，代入到原方程可 得： () 2 ( )dc x x c xdx  即： 1 121 ( ) ( )2 c x dc x x dx ，此为可分离变量常微分方程组，解之得： 2( ) ( ln ) ( ln 0)c x x c x c    基本方法 VIII 求解： ln1 y xxdy yx edx  解：方程 1dy yxdx  的解为： y cx 令 ()y c x x ，代入到原方程可得： ()() lncxdc x x e xdx  即： ( ) 1( ) lncxe dc x x xdx ，此为可分离变量常微分方程，所以可求出： 21( ) ln ( ln )2c x c x   代入原方程可求出： 21ln( ln )2y x c x  。 第 3 章 二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 二阶非线性常微分方程的常数变易法 二阶非线性常微分方程的一般形式与解法 二阶非线性常微分方程的一 般形式为： 39。 39。 39。 ( ) ( ) ( , )y P x y Q x y f x y   （ 1）。