有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用毕业论文(编辑修改稿)

有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

性无关的特征向量有两个，从而 A 可 相似对角化。 若 2 不是特征方程的二重根，则 a31882   为完全平方，从而 16318  a ，解得 32a。 当 32a 时 ,A 的特征值为 442， ，矩阵 13213013234 AE ， 的秩为 2 ，故 4 对应的线性无关的特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化。 广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 10 例 3 已知实对称矩阵020212022A ， 求可逆矩阵 P ,使 APPT 为对角矩阵。 解：（法 1 用配方法） A 所对应的二次型为   322222132222121 42442 xxxxxxxxxxxf 。 令3322211xyxyxxy ， 即3322211yxyxyyx ，得   2323221322221 42242 yyyyyyyyf 。 令33322112yzyyzyz ，即33322112zyzzyzy ，得标准形 232221 42 zzzf 。 所用可逆线性变换为 33322321122zxzzxzzzx ，即321321100210211zzzxxx。 故可逆矩阵100210211P ，使得 400010002APP T。 (法 2)可求得    142   AE ， 所以 A 的特征值为 412 321   ，。 又对应特 征值 412 321   ， 的特征向量分别为      TTT ppp 122212221 321 ，，，， 。 单位化 得 TTT qqq    313232323132323231 321 ，，，。 故可逆矩阵 (实际是正交矩阵 )  12221222131321 qqqP ，，使得   4000100021 APPAPP T。 第二章 几种矩阵的判定和应用 11 例 4 （天津大学）设三阶实对称矩阵542452222A （ 1） 求一个正交矩阵 C 及对角形矩阵  ，使 ACCT。 （ 2） 求一个对称矩阵 B 使 2BA。 解： （ 1） 显然易 见，可 求得 A 的特征多项式为     2110  f ， 于是 A 的 特征值为 101 321   ，。 由   010  xAE 解得一个基础解系为 2211e， 由   01  xAE 解得一个基础解系为 10211032 ee ， 将 1e 单位化，将 2e ， 3e 先正交化后单位化，之后将这三个向量组成一个正交 矩阵为 622232622232322031C ， 显然有1000100010ACC T。 （ 2）显然有 TTT CCCCCCA100010001010001000101000100010， 那么有对称矩阵910459104491022910449104591022910229102291081000100010TCCB， 使得 2BA 成立。 例 5（三峡大学） A 为正定矩阵， B 是实对称矩阵。 （ 1）证明存在可逆矩阵  使 EAT  ， BT 为对角矩阵。 广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 12 （ 2）证明 AB 的特征值都是实数。 解：（ 1）因为 A 为正定矩阵， B 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 Q ，使 EAT  ，   BQBQB TTTTT  ，所以 BT 为实对称矩阵 ， 所以存在正交矩阵 P 使得 BQPQP TT。 令 QP ，显然  可逆，    BQ PQPBQ PQPB TTTT  ，   EPPEPPA Q PQPA Q PQPA TTTTTT 。 （ 2）由 A 正定可知 1A 正定，由（ 1）可知，存在可逆矩阵 Q ， 使得 EQAQT 1 ，  nT diagB  ， 1 , niRi ，， 21 ， 由于 0ABE ，所以 01  BA。 而    nTTTT d i a gBEBQABAQ    ， 111 ， 所以       nT QBAQBAQ    21211。 由于 02Q ， 所以 n ，， 21 为 BA 1 的特征值，也为 ABE 的实根。 解题技巧： 在解本题时，要用到正定矩阵和对称矩阵的性质。 正交 矩阵 正交矩阵的定义 如果 n 阶实矩阵 A 满足  TTT AAEAAEAA   1，或或 ，则 称 A 为正交矩阵。 正交矩阵的性质 （ 1）如果 A 是正交矩阵，则 1A ； （ 2）如果 A 是正交矩阵，则 TA ， 1A ， A ， kA 均是正交矩阵；而 lA 是正交矩阵的充分必要条件是 ： 1l ； （ 3） 如果 A ,B 是 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵； （ 4） n 阶实矩阵 A 是正交矩阵 的充分必要条件是： A 的 n 个列（或行）向量是两两正交的单位向量。 正交矩阵的例子 例 1 （南京大学）设 A 为 n 阶实对称矩阵， S 为 n 阶实反对称矩阵  TSS 即 ，且 SASAAS  ， 为 满秩矩阵，试证：    1 SASA 为正交矩阵。 证：因为 SA 为满秩矩阵，所以   nSAr  ， 则 SA 可逆。                  1111 SASASASASASASASA TTT       11   SASASASA ， 又由 SAAS ，得      SASASASA 。 代入上式得 第二章 几种矩阵的判定和应用 13        ESASASASA T   11， 故    1 SASA 是 正交 矩 阵。 例 2 （中国科学院）求证：不存在正交 矩 阵 A ,B ，使 22 BABA 。 证：用反证法。 若存在 n 阶正交 矩 阵 A ,B 使 22 BABA  ， ① 式 ① 右乘 1B 得 12  BABA ， 式 ① 变形为   2BBAA  ，再左乘 1A 得 21BABA  ， 由于 A ,B 是正交 矩 阵，从而 12 BA 是正交 矩 阵，此即 BA 是正交 矩 阵。 类似可知 BA 是正交 矩 阵，故有     ABBAEBABAE TTT  2，     ABBAEBABAE TTT  2， 两式相加得 EE 42 。 矛盾，即证结论。 解题技巧：利用正交矩阵性质的（ 2）、（ 3）和正交矩阵的定义来求解。 例 3 （长春地质学院）设有二阶矩阵  03 3212 21 BA ， ，试分别将它们用正交矩阵化为对角矩阵，并求正交矩阵 P ，使 BAPPT 。 解：因为   13   AE ，所以 A 的特征值为 13 21   ，。 可求 得正交阵 ， 212121211P 使得   10 0311 APP T。 ① 又因为   13   BE ， 所以 B 的特征值为 13 21   ，。 也可求得正交阵 ， 232121232P 使得   10 0322 BPP T。 ② 根据式 ① 和 ② 得 2211 BPPAPP TT  ，从而     BPPAPP  121112。 广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 14 令    3113 311322 1121 PPP，则 P 为正交阵，且 BAPPT 。 实对称矩阵 实对称矩阵的 定义 对于实矩阵 A ，若 AAT ，则称 A 为实对称矩阵。 注：若 A 为实反对称矩阵  AAT 。 实对称矩阵的性质 （ 1）实对称矩阵的 特征值皆为实数 ； （ 2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交 ； （ 3） 实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，即对于任意一个 n 阶实对称矩阵 A ，都存在一个 n 阶正交矩阵 Q ，使 AAT 1 为对角矩阵 ； （ 4）若 A 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使得 APPT 也是实对称矩阵 ； （ 5）若 A 为实对称矩阵，则存在为实对称矩阵 B ， 使得 2BA （例 2）。 实对称矩阵  nnijaA 正交相似于对角矩阵的计算方法 ： 第一步：求 A 的特征值和对应的线性无关 特征向量。 设 t ，， 21 是 A 的所有互异特征值，其重数分别为 trrr ，， 21 ，且 nrrr t  21。 又设对应特征值i 的 ir 个线性无关的特征向量为  tippp iirii ，，，  2121 。 第二步：当 1ir 时，将特征向量iirii ppp ，， 21用 Schmidt 方法正交化：  ijijijijiijiiiiijijijii rjpppp ，，，，  2][ ][][ ][ 1,1,1,1,111111      ， 再单位化  iijijij rjq ，， 211  ， 如果 1ir ，直接将 1i。