月球探测器登月着陆轨道优化设计数模国赛论文(编辑修改稿)

月球探测器登月着陆轨道优化设计数模国赛论文(编辑修改稿)内容摘要：

条件 ， 在初值 、控制量已知的条件下利用四阶龙格 库塔方法可以在计算机上求出微分方程的数值解，即着陆器在下降过程中 𝑟, 𝜃,𝑟,𝑚随时间变化的曲线。 考虑微分方程 ： { v 𝑡 = −𝐹/𝑚2 𝑚2 𝑡 = −𝐹 用四阶龙格 库塔法求解可以看出 ， 单位 燃料 质量 Δ𝑚2所产生的速度变化 Δ 随推进力F 的增大而增大。 因此 𝐹 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 为了保证燃料消耗的最小化 ,控制量在任意时刻应至少满足条件： − 𝐹𝑚2𝑠𝑖𝑛𝛽 − 𝜇𝑟2 0 𝑐𝑜𝑠𝛽 0 即着陆器的径向推进加速度小于向心力且径向加速度不大于 0，使着陆器在该过程中始终满足轨道不断降低，切向速度不断减小的要求。 考虑到下降过程中切向速度和纵向速度之间的互相转化 ， 在制动策略上采取先控制轨道高度 ， 再进行制动的策略 ， 即控制角度 𝛽为 [−𝜋,−12𝜋]区间上的单调递增函数。 模拟退火： 在以上条件下 ， 问题转化为一个约束条件下的非 线性规划问题。 由于 控制量存在确定边界和单调性，利用模拟退火算法求出最优控制量。 将轨道离散化为 n 段，其中每一段的时间为 𝑡𝑖，区间端点上的推进角 𝛽𝑖−1和 𝛽𝑖。 生成 12 控制序列 *t1,𝑡2,…,𝑡𝑛+， *𝛽0,𝛽1,….𝛽𝑛+。 其中 *𝛽0,𝛽1,….𝛽𝑛+ 为 [−𝜋,−12 𝜋]上的递增序列。 由于随机生成的初始状态满足约束条件的概率较低，同时约束条件的满足和优化量之间存在冲突，在模拟退火的过程中采用随时间变化的评价函数，在温度较高时允许控制序列偏离限制量，在温度降低的过程中对不满足约束条件的控制序列予以排除。 在该原则下设计的 评价函数为： E = σ1|max ( 𝑟,20) −20| +𝜎2|max ( 𝜃,50)− 50| +𝜎3|𝑟− 1740 103| +Δ𝑚 其中 𝜎1,𝜎2,𝜎3为约束条件的惩罚系数，由 不同参量的量级和误差要求决定，并随温度降低增大。 温度控制函数采用指数函数 并进行多次退火 ，在保证末状态参数的情况下优化燃料消耗；转移参数根据 Metropolis 规则。 转移概率定义为： {1,Δ𝐸 ≤ 0𝑒−Δ𝐸𝐹 𝑚𝑝,Δ𝐸 0 取 n=4,迭代次数定义为 k，温度函数和惩罚系数定义为： {𝐹𝑒𝑚𝑝 = 𝐹𝑒𝑚𝑝0 exp(−𝑘)𝜎1 = 𝜎2 = exp(𝑘)∙ 10−2𝜎3 = exp(𝑘) ∙10−5 进行模拟退火，退火过程中保存不同温度下的最优解并进行多次退火，经过人工选择得到较优的几组控制方案如下： 序号 控制序列 t(s) 控制序列 β(rad) 1 , −𝝅,−𝟎.𝟔𝟗𝟑𝟗𝝅,−𝟎.𝟗𝟏𝟔𝟖𝝅,−𝟎.𝟖𝟖𝟏𝟗𝝅,−𝟎.𝟖𝟒𝟕𝟐𝝅 2 , −𝜋,−𝜋,−𝜋,−𝜋,−𝜋 3 4 表 1 序号 末状态 𝑟(𝑚/𝑠) 末状态 𝜃(𝑚/𝑠) 末状态 𝑟(𝑚) 末状态 𝑚(𝑘𝑔) 1 𝟏𝟕𝟑𝟔𝟗 𝟏𝟎𝟔 𝟏.𝟑𝟐𝟕𝟐 𝟏𝟎𝟑 2 − 17395 106 103 13 3 4 表 2 选择决策 1 作为最终决策组，其原因如下：速度较为接近要求值，且燃料最省，末状态到月心距离最符合要求。 最终选择的决策序列的下降过程如图 4 示： 其着陆轨迹如图 5： 图 4 14 图 5 3) 快速调整段 在完成减速下落阶段之后 ， 着陆器的高度和速度基本符合对月面进行扫描壁障的需求。 为了满足扫描壁障阶段对月面进行扫描并规避障碍的操作，必须先对着陆器的速度、姿态和发动机推进力进行控制。 为了尽快地完成快速调整阶段 ， 我们控制推进力方向为与火箭速度方向相反的方向 ；同时，为了防止火箭发动机因推进力调整速度过快熄火，设置火箭发动机的初始推进力与上一阶段的末状态相同，随时间均匀减少。 此时的动力学方程转化为 ： { 3𝑟 𝑡 = − 𝐹𝑚3𝑠𝑖𝑛𝛽 − 𝜇𝑟2 + 3𝜃2𝑟 3𝜃 𝑡 =𝐹𝑚3 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 3𝑟 3𝜃𝑟dr 𝑡 = 𝑟d𝑚3 𝑡 = −𝐹 𝐹 = 𝐹0 − 210 𝑡𝛽 = arctan( 3𝑟 3𝜃) 其中 t 为飞行时间。 15 在上一阶段的前提下用龙格 库塔四阶方法解微分方程得到 3𝑟, 3𝜃,𝑟,𝑚的图像如图 6： 图 6 根据以上计算 ， 快速调整阶段持续时间 ，距离着陆点高度 h=， 着陆器剩余 质量 𝑚3=，燃料消耗 34kg， 末 速度小于 5 10−3𝑚/𝑠。 其着陆轨迹如图 6： 4) 粗避障段 图 6 16 该阶段 的范围是距离月面 到 100m 区间，其 主要 任务是识别有效的着陆区域使着陆器可以安全着陆。 该阶段及其后阶段，由于离月面高度远小于月球半径，为了便于计算，把着陆点表面重力加速度看成定值。 即， g = 𝜇(𝑅− 2640)2 其中， R 取月球平均半径，算得 其 值为。 同时，由于此后每一阶段的燃料消耗较少，为了便于计算，可以把每一阶段中着陆器的质量 m 当成一个定值。 图像识别： 在模型中我们把着陆器抽象为一个着陆器舱体和四条可伸缩起落架的起落架 （如图 7）。 为了保证着陆器在下落在月球表面时起落架不发生损坏、舱体不发生倾覆，理想的着陆点应满足坡度较小和平坦无障碍物的两重条件。 由于在粗避障阶段内高程图的精度限制，着陆器无法检测小障碍物，此阶段的主要目标是选择一个坡度较小的区域进行降落。 考虑到着陆器着陆过程中可能出现的偏差 ， 选定的安全着陆区域的面积应当最大化。 为了限制着陆点的坡度范围，我们对可行的着陆区域的高程图计算每个点的梯度： ∇𝐻 = 𝜕ℎ𝜕𝑥 +𝜕ℎ𝜕𝑦 则待处理的高程图和相应的梯度图如图 8， 9 所示： 图 7 17 图 8 图 9 由于着陆器的尺寸约为 ， 为了简化计算 ， 将梯度图的精度缩减为 10m，得到低精度的梯度图（如图 10）。 在低精度的梯度图的基础上，取安全着陆的坡度为 15176。 ，得到可行的着陆区域 （ 红色区域 ） 如图 11 所示 ：。