最小二乘曲线拟合及_matlab实现_测绘专业本科毕业论文(编辑修改稿)

最小二乘曲线拟合及_matlab实现_测绘专业本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

 ，   00000 s in iiiiy YYrYYl i  . ，数字高程模型、 GPS 水准的高程异常拟合模型等，常采用多项式拟合模型。 已知 m 个点的数据是  iii yxZ , （ i=1,2，„„， m），其中 iZ 是点 i 的高程或高程异常（ GPS 水准拟合模型），  ii y,x 为点 i 的坐标，视为无误差，并认为 Z 是坐标的函数，即可取拟合函数为 25423210 iiiiiii ybyxbxbybxbbZ   ， (223) 式中 iZ =iZi vZ，未知参数为   510 , bbb . ii y,x 为常数，则其误差方程为 iiiiiiiZ Zbybyxbxbybxbvi  52432210 . (224) 最小二乘原理 最小二乘法 在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计某些未知参数的问题。 例如，一个做匀速运动的质点在时刻  的位置是 y ，可以用如下的线性函数来表达描述：   y (231) 式中，  是质点在 0 时刻的初始位置，  是平均速度，它们是待估计的未知数参数，内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 6 可见这类问题为线性参数的估计问题。 对于这一问题，如果观测没有误差，则只要在两个不同时刻 21 和 观测出质点的相应位置 21 yy和 ，由上式分别建立两个方程，就可以解出  和 的值。 但是在实际的观测时，考虑到观测值带有偶然误差，所以总是作多余观测。 在这种情况下，为了求得  和 ，就需要在不同时刻 n2,1  ，，  来测定其位置，得出一组观测值 nyyy , 21  ，这时，由上式可以得到  niyy i ,2,1   ， (232) 若令 nyyyY21，nB11121，X ,nvvvV21 则 YXBV   (233) 这就是间接平差的模型 [4]。 如果我们将对应的  niy ii ,2,1 ， 用图解表示，从图 看出由于存在观测 误差的缘故，由观测数据绘出的点 —— 观测点，描绘不成直线，而有些摆动。 图 根据观测点确定直线 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 7 这里就产生了一个问题：用什么准则来对参数 ~~ 和 进行估计，从而使估计直线    iy “最佳”的拟合于各观测值点。 通常的做法有以下几种： （ 1） m inm a x1  iximi y  （ 234） （ 2） mi n1  ixmi iy  （ 235） （ 3）   m in21 mi xi iy  （ 236） 其中第一种较复杂，第二种不可导，求解困难，所以目前采用较多的方法是第三种方法，这种方法就叫做最小二乘法。 所谓的最小二乘原理，就是要在满足 m i n2112   ni iini i yv  （ 237） 的条件下解出参数的估值  和 ，也可以表达为 m i n    YXBYXBVVTT （ 238） 式中， X 表示未知参数的估计向量，在上述例子中， TX   。 满足上式的估计值X 称为 ~X 的最小二乘估计，这种求估计量的方法就叫做最小二乘法 [1]。 最小二乘估计与极大似然估计 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。 设观测向量为 L,L 为随机正态向量，其数学期望和方差分别为 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 8  n21 LEL，221n22221n11221nnnLLDD 由极大似然估计准则知道，其似然函数（即 L 的正态密度函数）为         LTLn LDLDG  1212 21e xp2 1    2122lnln DG n    LTL LDL   121 （ 239） 按最大似然估计的要求，应选取能使 lnG 取得极大值的 L 作为 L 的估计量，考虑到,LLL L V      ， L 为 L 的估计量也就是以改正数 V 作为真误差  的估计量。 由于上式中右边第一项为常量第二项前为负号，所以只有当第二项取得极小值时，似然函数 lnG 才能取得极大值。 因此由极大似然估计求得的 V 值必须满足条件 1 minTV D V  考虑到 2 2 1 20 0 0,D Q P   为常量，则上式等价于 minTV PV （ 2310） 此方程即为最小二乘原理。 由此可见，当观测值为正态随机变量时，最小二乘估计可由最大似然估计导出，由以上两个准则出发，平差结果完全一致。 最小二乘原理中的 P 阵，称为权阵，定义是 1PQ。 设 12, , ,LnLL 为独立观测值，其权为 12,P , ,PnP ，则有  2 2 2001 , 1 , 2 , ,i i ii Q i nP      式中， iiQ 为 iL 的权倒数或协因数 ,权阵及协因数阵为 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 9 12nPPPP,12n 如果 12, , ,LnLL 为相关的观测值，则有 1 1 1 2 11 2 2 2 2220012nnn n n nQ Q Q QD Q Q 协因数 Q 与协方差 D 统计含义相同，数值的表达式形式上仅差一个常量 20 ，如果 20 =1，则 D=Q。 因为权阵 111 12 1 11 12 112 22 2 12 22 211 2 1 2nnn n nn n n nnP P P Q Q QP P P Q Q QPQP P P Q Q Q                     由于 11 22, , , nnQ Q Q 为 12, , , nL L L 的权倒数，但是 1ii iiQP  ，所以权阵 P 中 的主对角线 iiP不具有权的意义， P 仅表示 1Q ，但在运算中起着权的作用。 特别时，当观测为同精度观测时， P=I，则最小二乘原理是 minTVV （ 2311） 数据拟合 曲线拟合理论 在测量学上，常常使用一组测定的数据  ii yx， ， i=1,2，„„， n，求得一个近似的函数关系 y=fx。 由于 y 值来自观测或者实验，数据不可避免地带有一定程度的误差，因此不能像插值那样要求曲线严格通过数据点  ii yx， ，只能是 y= xf 最优地靠近这些数据点，这样，在某种意义下的偏差为最小，部分抵消数据误差，进而反应数据的一般趋势。 假定有 n 对实验数据  ii y,x ，其中（ i =1,2，„„， n）。 设由这些点得到的数据关内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 10 系为  xfy。 在一般情况下，有线性模型  xfy =        mi iimm xcxcxcxc 01100  （ 241） 假设令   ii xx  ，则有 xfy = miiimm xcxcxcxcc02210 非线性模型为   mititmtt im ececececxf01010  （ 242）利用线性模型与非线性模型，基于最小二乘法，可以计算出经验公式和参数。 最小二乘法线性拟合原理 前面我们已经介绍了最小二乘法，现在我们就最小二乘法拟合直线和曲线（多项式）做一个详细的原理分析，着重介绍多项式的拟合。 直线拟合 当实验数据   , 0 ,1 , 2 ,iix y i m 近似满足直线模型  f x ax b时，可利用最小二乘法拟合实验数据。 根据最 小二乘法的原理，函数  f x ax b应为 1121 1 1mmiiiim m mi i i ii i im x ybax x x y                       其中 1 1 1 2211m m mi i i ii i immiiiim x y x yam x x             ，21 1 1 12211m m m mi i i i ii i i immiiiix y x x ybm x x                本文主要探讨最小二乘曲线（多项式）的拟合，所以在这对直线拟合只做简要的分析。 曲线（多项式）拟合 设函数    0 ,1 , ,jj x x j n .已知列表函数   0 ,1 , ,iiy f x i m， 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 11 多项式   01 nnnp x a a x a x   逼近 fx的，问题变为如何选择 01, , , na a a 使 npx能较好地拟合列表函数 fx。 按最小二乘法，应选择 01, , , na a a ，使得       201 0, , , mn i n iiE a a a f x p x （ 243） 取最小。 因为 E 是非负的，且是 01, , , na a a 的二次多项式，。