数学解题策略的进一步研究_毕业论文(编辑修改稿)

数学解题策略的进一步研究_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

20 数学解题策略的进一步研究 1 第 1 章 前言 数学是关于研究客观世界的数量关系和空间形式的科学 .当人们与客观世界产生密切接触 .从数量关系和空间形式的角度反应出认知和客观世界的矛盾时 .就形成了数学的问题 .所以说，以数学为基本内容，或者虽不以数学为基本内容，但必须运用数学的原理、概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题 ]4[ . 同时，数学作为各科科学的基础学科，推动着各门科学的向前发展与繁荣的重要地位，数学的发展程度在一定意义上也见证着各国生产力的发展状况，数学历史的发展一再印证“问题是数学的心脏”，只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满 着生命力，而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或终结 ]8[ .正如人类的每项事业都追求明确的目标一样，数学的研究也需要自己的问题 .波利亚有一句著名的名言：“掌握数学就是意味着解题” ]10[ .解题就是意味着问题的解，现代意义的问题的解除了注重结果，注重答案外，更注重解决的过程，策略及思维方法 .“问题解决”已成为国际数学教育研究的焦点，人们对在数学教学中如何培养学 生的解决问题的技能与能力进行不懈的研究，取得了一系列成果 .随着研究的不断深入，人们逐渐认识到数学问题解决策略是该领域研究中的一个十分重要的课题，并且成为数学问题解决课题研究的热点，搞清解决数学问题的策略的有关问题对科学 ,高效地进行数学问题解决进而培养学生解决数学问题的能力具有重要的实践作用 . 一些学者将数学问题过程中思维结构分为三个层次阶段：运用一般逻辑方法；运用数学方法；运用具体的解题方法与技巧 .实质上就是解决问题过程中运用解决策略的层次阶段 .方法具有层次性，数学问题解决策略是区别于数学解题方法与具体技巧 的，具有普适性，最高层次的信息处理方法 .面对一个问题，采取什么样的策略是主体接触和了解数学问题后首先进行的选择性的思维操作 .策略是选择，组合，改变或者是操作与当前问题的解决有关的事实，概念原理的一系列规则，旨在缩小问题条件与结论之间的差别，填补其空隙 .总之数学解题策略是解决者找到正确解决办法的有力武器 . 数学解题策略的进一步研究 2 第 2 章 数学解题策略举例 观察 归纳与猜想 “观察﹑归纳与猜想”是一种重要的思维方法，对于确定证明方向﹑发现新定理都有重大的意义 . 归纳常常从观察开始，正如著名数学家 亚所言：“先收集有关的材料，考察它们，加以比较，注意到一些规律性，最后把零零碎碎的细节归纳成有明显意义的整体” . ]4[ 观察 100642781  改变一下形式 223333 )4321(104321  这个形式很有规则，这是偶然的还是真有这样的规律。 不妨再验证一下： 2233 )21(3921  ， 22333 )321(636321  . 再取多一些实验一下： 2233333 )54321(152 2 554321  . 于是猜想 22333 ]2 )1([)21(21  nnnn . 从这个例子可以看到，观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变，而要根据问题的特点不断调整自己观察的角度，以利于观察出一定隐蔽性的内在规律 . 数学归纳法 数学归纳法的基本 形式 .设 )(np 是一个关于正整数 n 的命题，如果 (1) )1(p 成立； (2)假设 )(kp 成立，则 )1( kp 也成立， 那么， )(np 对于任意正整数 n 都成立 . .设 )(np 是一个关于正整数 n的命题，如果 (1) )1(p 成立； 数学解题策略的进一步研究 3 (2)假设 )(np 对于所有适合 kn 的正整数 n 成立，则 )(kp )成立 .那么， )(np对于任意正整数 n 都成立 . 例 设 n是个正整数，求多项式 ! )1()1(!2 )1(!11)( n nxxxxxxxp n  的根 . 解 当 n=1 时， 多项式 xxp 1)(1 的根为 1 . 当 2n 时 )1)(2(21!2 )1(!11)(2  xxxxxxp 的根为 1 和 2 . 自然可以猜想多项式 )(xpx 的根是 1 ， 2 ，„， n 应用数学 归纳法证明：对于任意正整数 n ，上面的猜想都成立 .假设猜想对于 n 成立，那么， )(xpn 可以分解为 )()2)(1()( nxxxcxp n  ， 其中 c 是 nx 的系数 .重新检查 )(xpn 的定义，可以看出 !1nc ，所以 )()2)(1(!1)( nxxxnxp n  . 对于 n+1, )!1( )()2)(1()()2)(1(!1)!1( )()1()()(1    n nxxxxnxxxnn nxxxxpxp nn= )1)(()2)(1()!1( 1 nxnxxxn . 因此 )(1 xpn 的根为 1 ， 2 ，„ , n 和 )1( n ） . 数 学归纳法风格独到，具有固定的模式，但同时它又有极大的灵活性和很强的技巧性 . 枚举与筛选 当我们面临的问题存在量的可能的答案，而暂时又无法排除这些答案的大部分时，就不得不采用检验这些答案中大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举与筛选的策略来解题 ]4[ . 枚举与筛选解题时，重要的是做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里质量数学解题策略的进一步研究 4 检验员的责任是把不合格的产品挑出来，不让它出厂，于是就对所有的产品逐一检验，不能有漏检 产品 . 例 求这样的三位数，它除以 11所得的余数等于它的三个数字的平方和 . 方法是：三个数字只有 900 个，可以枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量 . 设这个三位数百位、十位、个位的数字分别为 x ,y ,z .由于任何数除以 11所得余数都不大 于 10，所以 10222  zyx ， 从而 .30,30,31  zyx 所以三位数必在以下数中： 100， 101,102,103,110,111,112， 120,121,122,130,200,201,202， 211,212,220,221,300,301,310. 不难验证只有 100,101，两个数字符合要求 . 逻辑类分法 在遇到复杂问题时候，难以处理时，可以把问题划分为有限多 个子问题来处理，然后再有针对性地逐一排除解决，最后把各个子问题的结论都归纳起来而得到整个问题的结论，这一种分类论证的方法叫逻辑分类法 ]4[ . 施行逻辑分类法的好处是针对每一个子问题而言，原来中的某些不确定因素变成了确定性因素，使问题的解有了新的重要前提条件 .对于同一个问题的研究可以有不同的分类标准：可以按问题的解（结论的不同）或者题设的不同而分类；可以按解的特征来分类；可以按照有关概念的特征来分类；可以按照图形的相对位置分类；可以 按照有关参数所满足的条件来分类；可以按一些公式、法则、定理应用的范围来分类„„总之，要具体情况具体分析 . 确定了分类标准进行分类时还要遵循一定的规则： （ 1）分类是相称的 .子问题不重复，不遗漏 . （ 2）标准是确定的 .每一次分类要用一个确定的分类标准，分类标准在没有 贯 彻彻底之前，不允许改变分类标准，连续分类严格按照层次逐级进行 . 二分法是分类中最常用的一种方法，它是把被分类的对象或涉及的范围，按具有或不具有某个属性，分为互相矛盾的两类 . 例 1 在一直线上给定 50 条线段，求证下列结论 至少有一个成立： （ 1） 存在 8条线段有公共点； （ 2） 存在 8条线段，其中的任意两条无公共点 . 证 不妨设所给直线为数轴， [ 21,aa ]是所有线段中右端点最小的一条线段 .数学解题策略的进一步研究 5 若含有 1b 的线段多余 7 条，则结论（ 1）成立 .否则，至少有 43 条线段整个落在线段 [ 11,ba ]右方，在这些线段中，设 [ 22,ba ]是右端点最小的一条线段，则 [ 22,ba ]与 [ 11,ba ]无公共点，且或有 8 条线段包含 2b ，因而（ 1）成立；或者有 36 条线段整个落在 [ 22,ba ]右方，继续这一推理，则或者也有结论（ 1）成立，或者得到7 个两两无公共点的线段 [ 11,ba ],[ 22,ba ],„ ,[ 77,ba ],对每个 )71( kk ,至少有 507k 条线段整个落在 [ kkba, ]的右方 .故在 [ 77,ba ]的右方至少有 507*7=1 条线段 [ 88,ba ]，于是结论 (2)成立 . 例 2 试确定使 72 bab 整除 baba 2 的全部正整数 （ a,b） . 解 由于条件 显然 72 bab 22 babba  ，而 222 babba  = abbaba 7)7( 22  ，故 abbab 77 22  ，下面分种情况： （ 1） 072  ab .这时 77 222  babbab ，矛盾 . （ 2） ab 72 .此时 a,b应具有  Nkkbka ,7,7 2 的形式，显然 )7,7(),( 2 kkba 满足题设要求 . （ 3） .072  ab 这时由于 77 22  babba ，可知 72b ，进而 b=1 或 2，当 b=1 时，由题设， 85778 12   aaa aa 为自然数，可知 a=11 或 a=（ a,b） =(11,1)或（ 49,1）；当 b=2 时，由 Naa 94 47 ，且注意到 294 47 aa ，可知 194 47 aa ，解得 313a ，矛盾， 综上所述，所有的正整数对（ a,b）为（ 11,1），（ 49,1）或 ))(7,7( 2  Nkkk . 从整体上看问题 解数学题，常常化“整”为“零”，使问题变得简单，以利于问题的解决，不过有时候则反其到而行之，需要由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综合全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握 问数学解题策略的进一步研究 6 题的本质，从中找到解决问题的途径 . 解决数学问题，有时不能过分拘泥于细节，要适时调整视角，注意从整体上看问题，既着眼与问题的全过程，抓住其整体特点，往往能达到化繁为简、变难为易的目的 ]4[ . 例 有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件，购乙 7 件，购丙 1件，共需要 315元 .若购甲 4件，购乙 10 件，购丙 1件，共需 420 件 .问购甲、乙、丙各需多少钱。 分析 通常的想法是先求出甲、乙、丙三种货物的单价是多少 .但由于题目所给的已知条件少于未知数的个数，要求单价势必就得解不定方程，能否不求单价，而直接求甲、乙、丙各一件的价格当成一个整体来求呢。 这就要从整体上把握条件与结论之间的联系 . 解 设甲、乙、丙的单价分别为 x,y,z 元，则由题意得    .420204 ,31573 zyx zyx 题目实际上只要求 x+y+z 的值，而不必一一求出 x,y,z 的值，因此将 x+y+z看作一个整体，从方程组中分离出 x+y+z，得到    ,420)()3(3 ,315)()3(2 zyxyx zyxyx 从而， x+y+z=105，既购得甲、乙、丙各需要 105 元 . 划归 把所需要解决的问题转换为已经解决的问题，或容易解决的问题 .同元问题相比，划归后的新问题必须是已经解决或较为成熟、简单的问题 ，它是数学最重要、最基本的思想之一 ]4[ . 既把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题的求解，把解得的结果作用于原有的问题，从而使原有的问题得解 . 将一个非基本的问题通过分解、变形、代换、„„或平移、旋转、伸缩„„多种方式，将它划归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答 .若解一元二次方程我们就通过因式分解等方法，将它划。