数学分析中不等式的证明方法与举例_本科毕业论文(设计)(编辑修改稿)

数学分析中不等式的证明方法与举例_本科毕业论文(设计)(编辑修改稿)内容摘要：

积分第一中值定理：若函数 f 在 ],[ ba 上连续，则至少存在一点 ],[ ba ，使得 长春师范大学本科毕业论文（设计） 7  ba baabfdxxf )(),)(()( . 积分第二中值定理：设函数 f 在 ],[ ba 上可积，若 g 为单调函数，则 ],[ ba ，使得   ba a b dxxfbgdxxfagdxxgxf   )()()()()()( . 例 1．设 )(xf 为 ]1,0[ 上的非负单调非增连续函数（即当 yx 时，)()( yfxf  ），证明对于 10   ,有下面的不等式成立   0 )()( dxxfdxxf . 证明：由积分第一中值定理有    )(),)(())(()( 11 ffdxxf .  )()( 20 fxf  , )0( 2   . 从而     dxxffdxxf )(1)()(1 0 . 因此可得     0 )()()1( dxxfdxxf . 即     0 )()()1( dxxfdxxf . 又因 10   ,所以 110 ,故   0 )()( dxxfdxxf . 例 2. 设 )(xf 在 ],[ ba 上连续，且单调递增，试证明 dxxfbadxxxf baba   )(2)( . 证明：要证该不等式只需证明 长春师范大学本科毕业论文（设计） 8 0)()2(  dxxfbaxba . 由于 )(xf 单调递增，利用积分第二中值定理，则存在 ],[ ba ，使   baba dxbaxbfdxbaxafdxxfbax  )2()()2()()()2(   bba dxbaxafbfdxbaxaf  )2()]()([)2()( )](22)][()([22   bbabafbf 0)(2)]()([  abafbf . 故 0)()2(  dxxfbaxba . 即 dxxfbadxxxf baba   )(2)( . 5 利用泰勒公式证明不等式 定理 :若函数 )(xf 在 ],[ ba 上存在直至 n阶连续导函数，在 ),( ba 内存在 )1( n阶导函数 ,则对任意给定的 x ， ],[0 bax  ，至少存在一点 ),( ba ,使得 : )(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf  200 )(!2 )( xxxf   10)1( )(! )(   nn xxnf  . 例 )(xf 在 ]1,0[ 存在二阶连续导数， 0)1()0(  ff ，并且当 )1,0(x 时， Axf  )( ，求证： )1,0(2)(  xAxf ， . 证明 :由于 ()fx在 [0,1] 上有二阶连续导函，因此对任何 )1,0(0x ，利用 (1)f和 (0)f 在 0x 点的二阶泰勒公式可得 ,)1(!2 )(39。 39。 )1)((39。 )()1( 202000 xfxxfxff  )1,( 01 x . ,!2 )(39。 39。 ))((39。 )()0( 202020 xfxxfxff  ),0( 02 x . 长春师范大学本科毕业论文（设计） 9 由 (1) (0)ff 可得 2020020 )1(!2 )(39。 39。 !2 )(39。 39。 )(39。 xfxfxf   . 又 Axf  )( ,所以 20200 )1(2)(39。 xxAxf . 而 )1,0(0x 时 , 1)1( 2020  xx ， 故 2)(0 Axf . 又由 0x 的任意性知 )1,0(2)(  xAxf ， 例 2．设 )(xf 在 ],[ ba 上有二阶连续导数， |)(|m ax],[ xfM bax  ，证明 3)(24|)2()()(| abMbafabdxxfba . 证明：将 )(xf 在 20 bax 处泰勒展开 2)2)((21)2)(2()2()( baxfbaxbafbafxf  ， ],[ ba . 两边在 ],[ba 上积分并注意到  ba dxbax 0)2(，得   baba dxbaxfbafabdxxf 2)2)((21)2()()( . 从而得   baba dxbaxfbafdxxf 2)2)((21)2(a)(b)(  dxbaxM ba2)2(2   24 )( 3abM  . 6 利用函数极值证明不等式 极值的第一充分条件：设 f 在点 0x 连续，在某邻域  。 00 xU 内可导 . 长春师范大学本科毕业论文（设计） 10 (1)若当 ),( 00 xxx  时 0)(  xf ,当 ),( 00  xxx 时 0)(  xf ,则 f 在点 0x取得极小值 . (2)若当 ),( 00 xxx  时 0)(  xf ,当 ),( 00  xxx 时 0)(  xf ，则 f 在点 0x取得极大值 . 极值的第二充分条件 ：设 f 在 0x 的某邻域 )。 ( 0xU 内一阶可导，在 0xx 处二阶可导，且 0)( 0  xf ， 0)( 0  xf . (1)若 0)( 0  xf ，则 f 在 0x 取得极大值 . (2)若 0)( 0  xf ，则 f 在 0x 取得极小值 . 例 ：当 0x ， n为自然数时， )32)(22( 1s in)( 20 2  nntd ttt nx. 证明：构造辅助函数 td tttx。