常微分方程的初等解法_毕业论文(编辑修改稿)

常微分方程的初等解法_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。 根据上述可知 ，函数 )﹐( yx 为方程的积分因子的充要条件是xNyM  )()( ，即  )(xNyMyMxN 。 对于方程 0y) dy﹐(x)﹐(  NdxyxM ，如果存在只与 x 有关的积分因子)(x ，则 0y ，这时方程  )( xNyMyMxN  变成 )( xNyMdxdN  ，即 dxN xNyMd  ， 由 此 可 知 ， 方 程0y) dy﹐(x)﹐(  NdxyxM 有只与 x 有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是)(xN xNyM，这里 )(x 仅为 x 的函数。 假如条件 )(xN xNyM成立，则根据方程 dxN xNyMd  ，可知求得方程 0y) dy﹐(x)﹐(  NdxyxM 的一个积分因子是  dxxe )(。 同样， 0y) dy﹐(x)﹐(  NdxyxM 有只与 y 有关的积分因子的充要条件 是 )( yM xNyM ，这里的 )(y 仅为 y 的函 数。 从 而求 得方程0y) dy﹐(x)﹐(  NdxyxM 的一个积分因子  dyye )(。 例 6 求解方程 0)(  dyxyydx 常微分方程的初等解法 9 解 ： yM ， xyN  ， 1yM， 1xN ，方程不是恰当的 因为 yM xNyM2只与 y 有 关 故 方 程 有 只 与 y 有 关 的 积 分 因 子2ln2)2( 1yee ydyy   以21y乘方程两边，得到 0112  yxdydyydxy 或者写成 02  ydyy xdyydx 因而，通解为 cyyx ln (c 为任意常数 ) 例 7 求方程 0)( 2223  y d yxdxyxx 的通解。 解 ： 经判断 xyxNyyM 2,2 ，所以该方程不是恰当方程。 分组得 0)( 2223  dxyxy d yxdxx 显然前两项具有积分因子21x，相应的全微分为 )(21 22 yxdyd yxd x  ， 要使得 )(1)(1 22222 xyxyxx   成立。 只需取2222 1)( yxyx ，21)( xx 即可，这样就找到了一个积分因子)( 1 222 yxx 。 常微分方程的初等解法 10 原方程两边同乘)( 1 222 yxx ，可得 01ln 22  xdyxd ， 所以通解为 Cxyx  1ln 22。 例 8 解方程 0)84()2( 3423  dyyxyxdxxyxy。 解 ： 方程各项重新组合为       0824 3243  dyydxxdyxyy d xxx d yy d x ，     0324 4332   yxddyydxxxyxyd ，   0323 4343    yxdyxx y dxyd ， 此时，可令 xyvyxu  ,3 43 ，上方程化为 02  duvdudv ， 解之得 Cvu  2ln ， 在 常微分方程中 ，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有 多少 种解法。 例 1 求 0)46()63( 3222  dyyyxdxxyx 的通解。 解 : 解法 1 不定积分法。 令 22 63),( xyxyxM  , 32 46),( yyxyxN  ， 则 xyyNxyyM 12,12 ，所以该方程为恰当方程。 22 63),( xyxyxMxU  ， 关于 x 积分，得 常微分方程的初等解法 11 )(3 223 yyxxU  ， 322 46),()(6 yyxyxNyyxyU  ， 34)( yy  ， 4)( yy  ， 所以通解为 CyyxxyxU  4223 3),(。 解法 2 公式法 利用恰当方程求解方法 3 中公式得方程通积分为 CyxxydyydxxyxyxU x y    22340 0 322 34)63(),( 解法 3 分组法 去括号重新分组可得 06643 2232  y d yxdxxydyydxx 0)(3)( 222243  dyxdxyyxd 积分，得原方程的通解为 Cyyxx  4223 3。 例 2 求方程 0)(  dyxyydx 的通解。 解 : 由于 1,1  xNyM，所以原方程不是恰当方程。 解法 1 可将原 方程改写为 ydyxdyydx  ， 左端有积分因子21),( xyx 或 ,1),(2yyx ，但考虑到右端只与变量 y 有 关，故取 21),( yyx  为方程的积分因子，因此有 ydyy xdyydx 2， 常微分方程的初等解法 12 两边积分可得通解 Cyyx ln，易见 0y。