太阳能小屋的设计_数学建模竞赛b题(编辑修改稿)

太阳能小屋的设计_数学建模竞赛b题(编辑修改稿)内容摘要：

量的费用 东面墙面 南面墙面 西面墙面 南面屋顶 北面屋顶 由上表很清楚的可以看到：东面墙面和北面屋顶出现了经济效益的亏损，所以在铺设太阳能小屋时该两个墙面则没有必要铺设光伏电池了；其他墙面则均得到了良好的经济效益，其中南面屋顶的经济效益是最好的，并且均都满足 全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的 费用尽可能小的条件。 综上所述，在贴附安装方式下铺设太阳能小屋时，我们选择南面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面进行光伏电池的铺设。 太阳能小屋相关效益的计算 （ 1）太阳能 小屋在光伏电池 35 年寿命期内的发电总量 由于铺设太阳能小屋时，我们只铺设东面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面，所以小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量也就相当于这三面墙 35 年内的发电总量之和，而在 表 3 中已给出 各个方向墙面的发电总量， 南面墙面为 kWh ，西面墙面为 kWh ，南面屋顶为 kWh ， 所以小屋 35 年内的发电总量为 kWh。 （ 2）太阳能小屋在光伏电池 35 年寿命期内的经济效益 由于铺设太阳能小屋时，我们只铺设东面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面，所以小屋光伏电池 35 年寿命期内的经济效益也就相当于这三面墙 35 年内经济效益的总量之和，而在 3中已给出 各个方向墙面的经济效益， 南面墙面为 元 ， 西面墙面为 元，南面屋顶为 元 ， 所以小屋 35 年内的经 济效益为 元。 （ 3）太阳能小屋投资的回收年限 根据题意所有光伏组件在 0～ 10 年效率按 100%， 10～ 25 年按照 90%折算， 25 年后按 80%折算。 所以我们就分 0~10 年、 10~25 年、 25~35 年这三个阶段来看小屋经济收益的情况，再来和其成本来进行比较，最后确定太阳能小屋投资的回收年限。 首先我们由 中得到的结论： 35 年的发电总量相当于光伏组件以 100%的工作效率工作 年，再根据 表 3 的数据可以计算得到该三个墙面 0~10 年阶段中每年的发电总量，三 者之和即为太阳能小屋 0~10 年阶段中每年的发电总量，进而求得其他两个阶段的每年发电总量，由此来确定三个阶段逐年的纯经济收益，并与小屋的成本进行比较，相应结果见表 4： 表 4：太阳能小屋三个阶段的经济收益情况 每年发电量 每年纯收益 每阶段纯收益 （累计） 成本 010 年 1025 年 2535 年 由上表我们可以看到当成本的费用与收益呈持平状态的时期已应该在 1025 年阶段，所以在 010 年阶段以后还需的投资回收年限 n= （ ）/= 年，所以太阳能小屋投资的回收年限 N=n+10= 年。 问题二模型的建立与求解 电池板的最优倾斜角和最优方位角 在架空方式下安装光伏电池，电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，因此在该方式下铺设小屋使其达到最优化我们首要考虑的就是使电池板的 朝向（也就是电池板的方位角）和倾角均达到最优的角度。 下面我们就来解决这个问题： 电池板的最优倾角是指调整电池板的倾斜角（即电池板与水平面之间的夹角）使其受到的辐射总量最大，因此我们将建立电池板的倾角与电池板所受辐射总量之间的模型，从而通过模型找到辐射总量的最大值，进而确定电池板的最佳倾角，所建模型如下： 87601( ) ( )iiS f H 其中 q 表示电池板的倾斜角， S 表示电池板在 q 倾角下一年中单位面积所受到的辐射总量， iH 表示电池板在 q 倾斜角下一年中某天中 i 时刻单位面积所受到的辐射总量。 根据 中倾斜角和方位角的公式： c o s s i n s i n c o s s i n c o s s i n c o s c o s c o sc o s c o s c o s s i n s i n s i n c o s s i n s i n c o s c o srn nnq d f b d f b g d fb w d b g w d b f g w= +++ 其中 rq 为阳光的入射角； b 为斜面倾角；  为时角；  为当时的太阳赤纬；  为当地的纬度 (大同的纬度为 )； ng 为斜面方位角；这里我们把方位角固定为 0 ； 随着倾角 q 从 0 ~90 之间逐渐变化我们将找到 S 的一个峰值，峰值所对应的电池板的倾角，即为最佳倾斜角。 针对建立的模型进行的函数运算我们将应用 Matlab 软件来处理（处理的源程序见附录 2）并得到了辐射总量随电池倾斜角大小变化而变化的图像即该函数变化的曲线图，见图 6： 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 61 . 11 . 21 . 31 . 41 . 51 . 61 . 7x 1 06X : 0 . 6 0 2 9Y : 1 . 6 6 9 e + 0 0 6 图 6：电池板 单位面积所受到的辐射总量随电池板倾斜角变化的图像 从图 1 中我们不难看出，当电池的倾斜角为 ， 单位面积所受到的辐射总 量达到峰值，所以 q = ， 就是我们要找的最优倾斜角。 电池板的最优方位角是指调整电池板的方位角（即电池板的垂直面与正南方向的夹角，向东偏设定为负角度，向西偏设定为正角度）因此我们将建立电池板的方位角与电池板所受辐射总量之间的模型，从而通过模型找到辐射总量的最大值，进而确定电池板的最佳方位角，所建模型如下： 87601( ) ( )iiG f H 其中 q 表示电池板的方位角， G 表示电池板在 q 方位角下一年中单位面积所受到的辐射总量， iH 表示电池板在 q 方位角下一年中某天中 i 时刻单位面积所受到的辐射总量。 根据 中倾角和方位角的公式： c o s s i n s i n c o s s i n c o s s i n c o s c o s c o sc o s c o s c o s s i n s i n s i n c o s s i n s i n c o s c o srnnn                      其中 rq 为阳光的入射角； b 为斜面倾角；  为时角；  为当时的太阳赤纬；  为当地的纬度 (大同的纬度为 )； ng 为斜面方位角；这里我们把倾斜角记为最佳倾角即 ； 随着方位角 q 从 0 ~90 之间逐渐变化我们将 G 找到的一个峰值，峰值所对应的电池板的方位角，即为最佳方位角。 针对建立的模型进行的函数运算我们将应用 Matlab软件来处理（处理的源程序见附录 2）并得到了辐射总量随电池方位角大小变化而变化的图像即该函数变化的曲线图，见图 7： 4 3 2 1 0 1 2 3 40 . 80 . 911 . 11 . 21 . 31 . 41 . 51 . 61 . 71 . 8x 1 06X : 0 . 3 9 4 7Y : 1 . 7 1 2 e + 0 0 6 图 7：电池板 单位面积所受到的辐射总量随电池板方位角变化的图像 从图 1 中我们不难看出，当电池的方位角角为 ， 单位面积所受到的辐射总量达到峰值，所以 q = ， 就是我们要找的最优方位角。 架空方式下太阳能小屋光伏电池的最优铺设 在架空的铺设反方式下，与问题一同理，我们选择南面墙面、西面墙面和南面屋顶来对小屋进行光伏电池的铺设。 我们由 得到了电池板的最优倾斜角 和最优方位角 ，如果按照该种形式进行架空铺设则墙面接受的辐射总量将由一定幅度的提升，因此由问题一所列出的电池的优先选择排序就不一定符合问题二的需要了，所以，我们利用增大了的辐射总量对南面屋顶再次做电池的优先选择排序（由于实际情况的限制，就没有必要做南面墙面和西面墙面的架空处理了），详细的过程操作同问题一，然后我们得到新的南面屋顶的优先选择的排序中， A3 电池依旧位于第一的位置，所以，南面屋顶的最优铺设与问题一相同，见图 51 和图 52。 架空方式下太阳能小屋相关效益的计算 （ 1）太阳能 小 屋在光伏电池 35 年寿命期内的发电总量 由于铺设太阳能小屋时，我们只铺设东面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面，所以小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量也就相当于这三面墙 35 年内的发电总量之和，而在 表 3 中已给出 各个方向墙面的发电总量， 南面墙面为 kWh ，西面墙面为 kWh ，南面屋顶为 kWh ， 所以小屋 35 年内的发电总量为 kWh。 （ 2）太阳能小屋在光伏电池 35 年寿命期内的经济效益 由于铺设太阳能小 屋时，我们只铺设东面墙面、西面墙面、南面屋顶三个方向的墙面，所以小屋光伏电池 35 年寿命期内的经济效益也就相当于这三面墙 35 年内经济效益的总量之和，而在 3中已给出 各个方向墙面的经济效益， 南面墙面为 元 ， 西面墙面为 元，南面屋顶为 元 ， 所以小屋 35 年内的经济效益为 元。 （ 3）太阳能小屋投资的回收年限 根据题意所有光伏组件在 0～ 10 年效率按 100%， 10～ 25 年按照 90%折算， 25 年后按 80%折算。 所以我们就分 0~10 年、 10~25 年、 25~35 年这三个阶段来看小屋经济收益的情况，再来和其成本来进行比较，最后确定太阳能小屋投资的回收年限。 首先我们由 中得到的结论： 35 年的发电总量相当于光伏组件以 100%的工作效率工作 年，再根据 表 3 的数据可以计算得到该三个墙面 0~10 年阶段中每年的发电总量，三者之和即为太阳能小屋 0~10 年阶段中每年的发电总量，进而求得其他两个阶段的每年发电总量，由此来确定三个阶段逐年的纯经济收益，并与小屋的成本进行比较，相应结果见表 4： 表 4：太阳能小屋三个阶 段的经济收益情况 每年发电量 每年纯收益 每阶段纯收益 （累计） 成本 010 年 1025 年 2535 年 由上表我们可以看到当成本的费用与收益呈持平状态的时期已应该在 1025 年阶段，所以在 010 年阶段以后还需的投资回收年限 n=（ ） /=年，所以太阳能小屋投资的回收年限 N=n+10= 年。 问题三模型的建立和求解 太阳能小屋的设计 在满足小屋建筑要求的基础上，使铺设的光伏电池阵 列的 经济效益 尽可能大的约束设计太阳能小屋。 首先， 我们需要保证的就是使太阳能小屋铺设电池的墙面受到的总辐射量尽可能大， 由问题二得到电池板铺设的最优方位角为 ， 这时 我们就使小屋的朝向 就是该方位角即南偏西 ， 因此在小屋铺设光伏电池的时候就免去了考虑电池板方位角的问题； 为了使小屋所受辐射总量尽可能大， 就应该使总辐射量比较大的那个墙面的面积尽量大，下面我们就来解决这个问题： 首先通过问题一计算总辐射量的模型，我们得到了小屋南面墙面、西面墙面和南面屋顶 35 年单位面积的总辐射量，分别为 120684 73373 1707053（单位： W/ 2m ），因此我们以 三者总辐射量之比（ 12： 7： 17）作为各自墙面的权重，用该权重来平衡各自墙面的面积，这里我们是通过 各个墙面的权重乘以各自墙面未知的面积变量并求得三者乘积之和，使其和尽可能大从而达到使总辐射量比较大的那个墙面的面积尽量大的条件，下面我们根据附件 7 中 小屋的建筑要求，来建立小屋各个建筑指标（长、宽、高等）的数学模型： 目标函数： 221 2 1。