基于极坐标的牛顿-拉夫逊法潮流计算毕业设计(编辑修改稿)

基于极坐标的牛顿-拉夫逊法潮流计算毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

ijy － ijy ； 2）节点 i、 j 的互导纳增量ijY=jiY＝ ijy － 39。 ijy。 yi j( a )iijyi j( b )ij yi j( c )ij yi jy 180。 i j( d ) 图 (31) 洛阳理工学院毕业设计（论文） 12 第 4 章 潮流计算的原理 牛顿－拉夫逊 法 设有单变量非线性方程 ( ) 0fx (41) 求解此方程时。 先给出解的近似值 (0)x 它与真解的误差为 (0)x ，则(0) (0)x xx  将满足方程，即 ( 0 ) ( 0 )( ) 0f xx   (42) 将 (38)式左边的函数在 (0)x 附近展成泰勒级数，于是便得 239。 39。 39。 ( )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0) ( 0)( ) ( ) ( ) ( ) ... ... ( ) ... .2 ! !( ) ( )nnff nxxf f fx x x x x x x         (43) 式 中 ，39。 (0)()f x ,…… () (0)nf x 分别为函数 ()fx在 (0)x 处的一阶导数， … .， n 阶导数。 如果差值 (0)x 很小， (39)式右端 (0)x 的二次及以上阶次的各项均可略去。 于是， (39)便简化为 39。 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( )ff fx x x x x    ＝ 0 (44) 这是对于变量的修正量 (0)x 的现行方程式，亦称修正方程式。 解此方程可得修正量 ( 0 )( 0 )39。 ( 0 )()()f xx f x   (45) 用所求的 (0)x 去修正近似解，变得 ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。 ( 0 )()()f xx x x x f x     (46) 由于 (310)是略去高次 项的简化式，因此所解出的修正量 (0)x 也只是近似值。 修正后的近似解 (1)x 同真解仍然有误差。 但是，这样的迭代计算洛阳理工学院毕业设计（论文） 13 可以反复进行下去，迭代计算的通式是 ()( 1 ) ( )39。 ()()()kkkkf xxx f x  (47) 迭代过程的收敛判据为 ()1()kf x  (48) 或 ()2kx  (49) 式中 1 ， 2 为预先给定的小正数。 这种解法的几何意义可以从图 3－ 1 得到说明。 函数 y＝ f(x)为图中的曲线。 f(x)＝ 0 的解相当于曲线与 x 轴的交点。 如果第 k 次迭代中得到 ()kx ，则过 ()( ) ( ), ( )kkkfyxx点作一切线，此切线同 x 轴的交点便确定了下一个近似值 ( 1)kx。 由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。 应用牛顿法求解多变量 非线性方程组 (31)时，假定已给出各变量的初值1(0)x，2(0)x… . (0)nx，令1(0)x，2(0)x， … .. (0)nx分别为各变量的修正量，使其满足方程 (31)即 1 1 1 2 22 1 1 2 21 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , . . . . , ) 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , . . . . , ) 0......( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , . . . . , ) 0nnnnn nnf x x x x x xf x x x x x xf x x x x x x                     (410) 将上式中的 n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数 ,并略去含有1(0)x,2(0)x， …… ， (0)nx二次及以上阶次的各项，便得 洛阳理工学院毕业设计（论文） 14 1 1 10 0 01 1 2 1 2121 1 10 0 02 1 2 1 212101 2 11( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , ... , ) ... 0( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , ... , ) ... 0......( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , ... , )| | || | ||nnnnnnn nf f ff x x x x x xx x xf f ff x x x x x xx x xff x x x xx                        1100 22( 0 ) ( 0 )... 0||nnffxxxx       (411) 方程式 (317)也可以写成矩阵形式 1 1 10 0 0121 122 2 22 12 0 0 012120 0 012...( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , . . . , )( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , . . . , ) .......... . . . . . . . . . . .( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( , , . . . , )...| | || | || | |nnnnn nn n nnf f fx x xfx x xf f ff x x xx x xf x x xf f fx x x               12( 0 )( 0 )...( 0 )nxxx      (412) 方程式 (318)是对于修正量1(0)x,2(0)x,…… , (0)nx 的线性方程组 ,称为牛顿法的修正方程式 .利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量1(0)x,2(0)x,…… , (0)nx。 然后对初始近似值进行修正 (1) ( 0 ) ( 0 )i i ix x x   (i=1,2,… .,n) (413) 如此反复迭代，在进行 k＋ 1 次迭代时，从求解修正方程式 洛阳理工学院毕业设计（论文） 15 1 1 1121 122 2 22 12121212...( ) ( ) ( )( , , ... , )( ) ( ) ( )( , , ... , ) ............ ... ... ...( ) ( ) ( )( , , ... , )...| | || | || | |k k knnn k k knn nn n nk k knk k kk k kk k kf f fx x xfx x xf f ff x x xx x xf x x xf f fx x x               12()()...()nkkkxxx      (414) 得到修正量1()kx，2()kx， ()nkx，并对各变量进行修正 ( 1 ) ( ) ( )i i ik k kx x x    (i=1,2,… ,n) (415) 式 (320)和 (321)也可以缩写为 ()( ) ( )() kkkF JXX   (416) 和 ( 1 ) ( ) ( )k k kX X X    (417) 式中的 X 和 X 分别是由 n 个变量和修正量组成的 n 维列向量； F(X)是由 n个多元函数组成的 n 维列项量； J 是 n 阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第 i、j 个元素 iij ifJ x 是第 n 个函数 12( , ,..., , )nif x x x对第 j 个变量jx的偏导数；上角标 (k)表示 J 阵的每一个元素都在点, ,()( ) ( )( ... , )12i kkk nf xxx处取值。 迭代过程一直到满足收敛判据  112( ) ( ) ( )m a x ( , , . . . , )i nk k kf x x x  (418)或  2()m ax ikx  (419) 为止。 1 和 2 为预先给定的小正数。 将牛顿－拉夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程写成形如方程式(31)的形式。 由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿－拉夫逊法潮流计算也将相应的采用不同的计算公式。 洛阳理工学院毕业设计（论文） 16 图 (41)牛顿－拉夫逊方法的几何意义 洛阳理工学院毕业设计（论文） 17 第 5 章 计算实例 算例 图 1 为一五结点系统，各支路参数均为标么值。 假定结点 3 为 PQ节点，结点 4 为 PV 节点、结点 5 为平衡结点，试分别用 直角坐标和极坐标牛顿－拉夫逊法 计算其潮流。 取收敛判据为 |Pi|105 和 |Qi(Vi2)|105。 给定： S1= S2= S3= P4= |V1（ 0） |=|V2（ 0） |=|V3（ 0） |=|V4（ 0） |= |V4|=|V5|= (0)3(0)2(0)1  5(0)4  1 . 0 5 : 14j 0 . 0 1 51 : 1 . 0 52J 0 . 2 50 . 0 8 + j 0 . 3 0j 0 . 2 5J 0 . 2 50 . 0 4 + j 0 . 2 50 . 1 + j 0 . 3 5J 0 . 2 51j 0 . 0 3。