基于智能控制算法的二级倒立摆控制器设计(编辑修改稿)

基于智能控制算法的二级倒立摆控制器设计(编辑修改稿)内容摘要：

)s i n s i n s i n ) )44( ( 4 4 )33P m l m m m l x m l lm m m glm l l m l x m l lm l x m gl m l xQ m m m m l l                           2 2 2 2 22 1 2 1 224 c os ( ) )/m l lRS (36) 其中， 22 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1 12 2 21 2 3 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 c os( ) ( ( 2 2 ) c os 2 sin( ) ( 2 2 ) sin )4( 4 4 ) ( c os 2 sin( ) sin sin sin ) )3R m l l m m m l x m l l m m m glm m m l m l x m l l m l x m gl m l x                               2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 3 2 1 244( 2 c os ( ) ( 4 4 ) )33S m l l m m m m l l     式 (35)和式 (36)可表示成以下形式： 1 1 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x     (37) 2 2 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x     (38) 在平衡位置附近进行泰勒级数展开，并线性化，可以得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 5 1 1 6 2 1 7k x k k k x k k k x           (39) 其中， 1 2 1 21110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk x          1 2 1 21 2 31121 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 2 2 ) 8 6 .6 9( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l               1 2 1 212132 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 4 3 12 )xxxf gmk m m m l                1 2 1 21140 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x          1 2 1 21151 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk           1 2 1 21162 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk           1 2 1 21 2 31170 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 13 ( 4 ) 42( 4 6 12 )xxxm m mfk x m m m l              2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 4 2 5 1 2 6 2 2 7k x k k k x k k k x           (310) 其中， 1 2 1 22210 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x          1 2 1 21 2 32221 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 2 2 ) 4 0 .32 ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l                  1 2 1 21 2 32232 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 3 3 ) 3 9 .4 5( 4 6 1 2 )xxxg m m mfk m m m l               1 2 1 22240 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x          1 2 1 22251 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk           1 2 1 22262 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk           1 2 1 21 2 32270 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 23 ( ) ( 4 3 12 )xxxm l mfk x m m m l               对于二级倒立摆系统，取以下六个变量为系统的状态变量：  1 2 1 2, , , , ,xx    并且取小车加速度为输入变量，即： ux 那么，由式 (39)和式 (310)可以得到系统的状态空间表达式： 112211220 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 8 6 .6 9 2 1 .6 2 0 0 0 6 .6 40 4 0 .3 1 3 9 .4 5 0 0 0 0 .0 8 8x xuxx                                      (311) 12121 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0xxyux                            倒立摆系统的定性分析 相关定理简介 在得到系统的数学模型后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是系统的稳定性、可控性和可观性。 直观上，摆杆竖直向上系统是不稳定的。 其稳定性分析可以用李亚普诺夫稳定性理论。 对于系统在平衡点附近的稳定性可以根据前面得到的系统线性模型来分析。 因为需要设计控制器来镇定系统，那么首先要考虑系统是否可控。 在进行分析前，先介绍线性控制理论中几个关于可控性、可观性的判定定理。 定理 1(可 控性判据 )： n 阶线性定常连续系统 X AX Bu状态完全可控，当且仅当系统的可控性矩阵： 2[ . . . ( 1 ) ]S B A B A B A n B 满秩，即 rank(S}=n。 特别的，当输入控制量 u(t)为标量时，可控性矩阵 s 为方阵； rank(s)=n 等价于 S 的行列式值 det(S)≠0。 定理 2(可观性判据 )： n 阶线性定常连续系统 uX AX By CX   状态完全可观，当且仅当系统的可观性矩阵： 21nCCAV CACA 满秩，即 rank( V)=n。 特别的，当输出量 y(t)为标量时，可观性矩阵 V 为方阵：rank( V)=n 等价于 V 的行列式值 det(V)≠0。 为了衡量系统控制器设计的难度，或者说衡量系统本身可控性的相对程度，一般称之为相对可控性，可通过计算可控性矩阵的奇异值 b 来判断。 对于一个实矩阵 A (mn 阶 )，如果可以分解为 A =USV39。 ，其中 U 和 V 为分 别为 mn 与 nm 阶正交阵， S 为 nn 阶对角阵，记为 S=diag(a1,a2,...,ar,0,..., 0)。 其中， a1,a2,...,ar 大于或等于 零。 那么 a l ,a2,...,ar 称为矩阵 A 的奇异值。 U 和 V称为左右奇异阵列。 定理 3(相对可控性判据 )：线性定常连续系统 uX AX B，矩阵 A 的最小 奇异值与最大奇异值的比值为系统的相对可控度，记作 δ。 如果 δ 的值越大，说明系统的相对可控度越高，对该系统就越容易控制。 相反， δ 越小，系统越不容易被控制。 二级倒立摆系统定性分析 对二级倒立摆进行分析，使用 MATLAB 中的 dg()命令得系统开环特征为 ( 0 0) 因为系统有两个根在 S 平面的右半平面上，所以系统是不稳定的。 根据 中的定理 1 和定理 2，通过 MATLAB 中的 rank()命令可以分别求得 rank(S)=6 和 rank(V)=6。 所以，系统完全可控并且完全可观测。 可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。 根据二级倒立摆状态方程 (311)，利用 MATLAB 中的命令 [U,S,V]=svd(A)，对 A 矩阵进行奇异值分解，得到 A 矩阵的奇异值阵 S。 0 0 0 0 00 24 .8 13 3 0 0 0 00 0 1. 00 00 0 0 00 0 0 1. 00 00 0 00 0 0 0 1. 00 00 00 0 0 0 0 0S 二级 倒立摆的相对可控度 : δ=1/ =。 第四章 模糊控制理论 模糊控制理论是美国加利福尼亚 学校的自动控制理论专家 教授最先提出来的。 1965 年他在 Informationamp。 control 杂志上发表了模糊集“ Fuzzy set”一文，首次提出了模糊集合的概念。 用模糊集合来描述模糊事 物的概念，很快被科技工作者所接受。 40 多年来，模糊数学及其应用发展十分迅速。 1974 年，英国的 Mamdani 首先把模糊理论应用于工业控制 ，取得了良好的控制效果。 从此，模糊控制理论及其模糊控制系统的应用发展很快，在控制领域展现出广阔的前景。 模糊控制具有如下主要特点 : (1)在设计系统时不需要建立被控对象的数学模型，只要求掌握现场操作人员或者有关专家的经验、知识或者操作数据。 (2)模糊控制的计算方法虽然是运用模糊集理论进行的模糊算法，但最后得到的控制规律是确定性的、定量的条件语句。 (3)与传统控制方法相比，模糊控制更接近于人的思维方法和推理习惯。 因此，更便于现场操作人员的理解和使用，从而得到更为有效的控制规律。 (4)模糊控制系统的鲁棒性强，尤其适用于非线性、时变、滞后系统的控制。 在生产实践中，存在着大量的模糊现象，对于那些无法获得数学模型或模型复杂的、非线性的、时变的或者祸合严重的系统，无论用经典控制，还是用现代控制理论的算法都很难实现控制。 但是，一个熟练的操作工人或技术人员，凭借自己的经验，靠眼、耳等“传感器”的观察，经过大脑的思维判断给出控制量，可以用手动操作，达到了较好的控制效果。 例如，对于一个炉温控制系统，人的控制规则是，若温度高于某一设定值，操作者就减小控制量，使之降温，并且温度越高，控制量就减得越多 :反之，若温度低于该设定值，则加大控制量，使之升温，并且温度越低，控制量就增加得越多。 该例中包含了大量得模糊概念，如“高于”、“低于”、“越高”、“越低”、“越多”等等。 因此，操作者得观察和思维判断过程，实际上就是一个模糊化或模糊计算的过程。 把人的操作经验归纳成一系列的规则，存放于计算机中，利用模糊集理论将它量化，使控制器模仿人的操作策略，这就是模糊控制器，而用模糊控制器组成的系统就是模糊控制系统。 模糊控制器的基本原理 模糊控制器的结构如图 所示。 控制器由 4 个基本部分组成，即模糊。