基于小波变换的数字水印算法研究实践报告(编辑修改稿)

基于小波变换的数字水印算法研究实践报告(编辑修改稿)内容摘要：

线地分发多媒体内容以及大规模的广播服务。 数字水印用于隐藏标识时，可在医学、制图、数字成像、数字图像监控、多媒体索引和基于内容的检索等领域得到应用。 数字水印的认证方面主要 ID 卡、信用卡、 ATM 卡等上面数字水印的安全不可见通信 将在国防和情报部门得到广泛的应用。 多媒体技术的飞速发展和 Inter信科专业 实践报告 第 10 页 共 25 页 的普及带来了一系列政治、经济、军事和文化问题，产生了许多新的研究热点，以下几个引起普遍关注的问题构成了数字水印的研究背景。 3 小波分析理论基础 小波变换是将信号分解成时域和尺度域的一种变换 ，不同的尺度对应于不同的频率范围，因此，对于图像信号这样的时频信号而言，小波变换是一种很好的分析工具。 小波分析的时频局部化特性好，原图像的低频部分和高频部分经变换后的系数比较集中，而不会像 DCT 那样形成幅值分散，故在保留同样多的细节信息的情况下需 编码的系数较少。 小波分析的发展历程 任何理论的提出和发现都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。 1910年 Haar 提出了小波规范正交基，这是最早的小波基，当时并没有出现“小波”这个词。 1936 年 Litlewood 和 Paley 对 Fourier 级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按 21进行划分，其 Fourier 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。 1946年 Gabor提出的加窗 Fourier变换 (或称短时 Fourier 变换 )对弥补 Fourier 变换的不足起到了一定的作用， 但并没有彻底解决这个问题。 后来， Calderon,Zy gmund,St ern 和 Weiss 等人将 LP理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论， 1965 年， Coifmann 提出了再生公式， 1974 年， Coif nann 对一维 HP 空间和高维 Hp 空间给出了原子分解， 1975年 Calderon 用他早先提出的再生公式给出了抛物型 H，的原子分解，这一公式现在己成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开。 多分辨分析原理与人类的视觉和听觉方式十分接近。 Mallat 受金字塔算法的启发，以多分辨率分析为基础提出了 著名的快速小波算法一 Mallat 算法 (FWT)，这是小波理论突破性的成果，其作用和地位相当于 Fourier 分析中的 FFT. Mallat 算法的提出宣告小波从理论研究走向宽广的应用研究。 小波函数与小波变换 连续小波基函数 小波 (wavelet)，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为小波 信科专业 实践报告 第 11 页 共 25 页 函数的定义为 :设 t 为一平方可积函数，即 t  RL2 ，若其 Fourier 变换 满足条件 :C =   Rdt  )( () 则称 T (t)为一个基本小波或小波母函数，我们称式 ()为小波函数的可容许条件。 将小波母函数 t 进行伸缩和平移，就可以得到函数 )(, t t, = a1   at  a, R。 a0 () 式 ()中， a为伸缩因子， T 为平移因子，我们称 t, 为依赖于参数 a, 的小波基函数。 连续小波变换 将任意 L2 (R)空间中的函数 f(t )在小波基下展开，称这种展开为函数 f(t )的连续小波变换 (ContinueW aveletTr ansform，简称为 CWT)，其表达式为 : WT  ,af = )(),( , ttf a = a1 Rt)( tdat   （ ） 由以上定义，我们可以看出小波变换和傅立叶变换一样，也是一种积分变换， WT ),( af ,灼为小波变换系数。 但它不同于傅立叶变换的地方是，小波基具有尺度 a 和平移  两个参数，所以函数一经小波变换，就意味着一个时间函数投影到二维的时间一尺度相平面上，这样有利于提取信号函数的某些本质特征。 可以证明，若采用的小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换，逆变换 公式为 : f(t)=C1 0 2ada ),( aWTf  dta )(, = C1 0 2ada ),( aWTf  dat )(  () 式 () C =   Rdt  )( 为对  (t)提出的容许条件。 在此需要进一步说明，在小波变换过程中，所采用的小波必须满足容许条件信科专业 实践报告 第 12 页 共 25 页 反变换才存在，由容许条件 C =   Rdt  )( 可以推断出 :能用作基本小波  (t) 的函数至少必须满足 0)0(  或者  R tdt 0)(,也就是说， )( 必须具有带 通性质，且 )(t 必须是有正负交替的 MIA 波形，使得其平均值 =0，这便是称之为“小波”的原因。 另外，在实际中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条 件，对  (t)还要施加所谓的“正则性条件”，使 )( 在频域上表现出较好的局限性能。 为了在频域上有较好的局限性，要求 ),( aWTf 随 a的减小，所以这就要求  (t)的前 n阶原点矩为 0，且 n值越高越好，即 pt （ t） d(t)=0 p =1~ n ，且 n值越大越好 () 此要求在频域内表示就是， )( 在  =0 处有高阶零点，且阶次越高越好 (一阶零点就是容许条件 )，即 )( = 1n )(0 0)0(0  , n 越大越好 () 上两式就是正则性条件。 如果 用 上 述变换公式来处理图像信息，还需要将连续小波离散化，同时将一维变换拓展到二维。 离散小波变换 在实际应用中，为了方便计算机进行分析、处理，信号  (t )都要离散化为离散数列， a和  也必 须离散化，成为离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform),记为 DWT. 由上一节连续小波变换的概念我们知道，在连续变换的尺度 a和  时间值下，小波基函数 )(, ta 具有很大的相关性，所以一维信号 f(t)做小波变换成二维的WT ),( af 后，它的信息是有冗余的，体现在不同点的 WT ),( af 满足重建核方程。 在理想情况下，离散后的小波基函数 )(, tnm 满足正交完备性条件，此时小波变换后的系数没有任何冗余，这样就大大地压缩了数据，并且减少了计算量。 为了减少小波变换的系数冗余度，我们将小波基函数 信科专业 实践报告 第 13 页 共 25 页 t, =a1   at  a, 限定在一些离散的点上取值。 ① 尺 度 的离散化。 目前通行的办法是对尺度进行幂级数离散化，即令 a取 a= ma0 ,a0 O,mZ，此时对应的小波函数是 a  )2(02_0 tjj j=0 ,1,2,...。 ② 位移的离散化。 通常对  进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 为了 防 止信息的丢失，我们要求采样间隔  满足 Nyquist 采样定理，采样率大于等于该尺度下频率通常的二倍。 所以每当 m增加 1 时，尺度 a增加一倍，对应的频率减小一半，可见采样率可以降低一半而不致引起信息的丢失 (带通信号的采样率决定于其带宽，而不是决定于其频率上限 )。 所以在尺度 j下，由于  tf0的带宽时 t 的 aj0 倍，因此采样间隔可以扩大 aj0 ，同时也不会引起信息的丢失。 这样， )(, ta 就改成 :a    002020200 )(  ktaakata jjjjj   () 记为 )(00, tkaj 离散小波变换定义为 : WT ),( 00 kajf = )()()(00 , tdttf ka j  j=0,1,2...,k Z () 在以上的尺度以及位移均离散化的小波序列，如果取离散栅格 a0 = 2 ,0 =0， 即相当于连续小波只在尺度 a 上进行量化，平移参数  仍然连续不被离散，我们称这类小波为二进小波，表示为 : )(,2 tK=2 )2(2kk t   () 二进小波介于连续小波和离散小波之间，由于它只是对尺度参量进行离散化，在时间域上的平移量仍保持着连续的变化，所以二进小波具有连续小波变换的时移共变性，这个特点也是离散小波不具有的。 也正因为如此，它在奇异性检测、图像处理方面都十分有用。 令小波函数为  (t)，其傅立叶变换为 )( ，若存在常数 A,B，当 0A B ，使得 信科专业 实践报告 第 14 页 共 25 页 BA zk kw   2)2( () 此时，  (t)才是一个二进小波，我们称上式为二进小波的鲁棒性条件。 定义函数 f(t) )(2 RL 的二进小波变换系数为 : WTK2( )=f(t) )(,2 tk=tkk dttf )2()(2 2   () 其中 )(,2 tk=2 2k )2(kt   () 由前面的知识可得它的小波逆变换公式是存在的。 二进小波变换的重建公式为 : f(t)= dtWT KKzk R )()( ,22   () 其中， )(,2 tk 为,。