基于lmi的单级倒立摆鲁棒控制器设计毕业论文(编辑修改稿)

基于lmi的单级倒立摆鲁棒控制器设计毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

远的影响，鲁棒控制这一术语也开始登上历史舞台。 1971 年 Davion 的论文中首次出现了鲁棒控制理论的说法 [10]，而首先将鲁棒控制写进论文标题是从 1974 年 Pearson 等人开始的 [11]。 综上所述，鲁棒控制能够被推广到现代控制理论研究的前沿，与任何一个时期的理论都是密切相关的。 Nyquist 判据在多变量系统中的推广、 Youla 参数化方法和有理函数矩阵分解等基础理论的进展直接影响着鲁棒控制的发展。 发展到 20 世纪八十年代以后期，鲁棒控制的研究引起了高度的重视，这是鲁棒控制理论飞速发展的重要阶段。 尤其是 1981 年，鲁棒 H 控制理论框架基本形成，且提出了最优灵敏度控制方法 [12]。 IEEE Transaction on Automatic Control 出版的题为《线性多变量控制系统》这个专辑中的论文强调将奇异值作为分析多变量系统频域鲁棒性的测度。 同年， Doyle 和 Stein 提出了在频域内进行回路成形，使得控制系统设计过程中的许多性能指标，包括鲁棒稳定性问题都可以表达为特定闭环传递函数矩阵 H的范数。 在控制领域，这是一项重要的突破，现如今 H 控制理论已经成为鲁棒控制理论的经典工具。 简单地说，鲁棒控制处理的是具有不确定性的被控对象，包括模型参数变化 、外北华大学学士学位论文 4 部扰动、模型与实际系统差异和执行器的误差等等。 鲁棒控制方法是解决倒立摆这一复杂、不确定非线性对象的一种工具。 虽然在倒立摆中还没有充分展开鲁棒控制算法的研究工作，但根据已有的一些研究成果进行推断，面向不确定性的研究对象将成为鲁棒控制领域不变的发展方向。 将研究成果与实际应用相结合，解决不确定系统的控制问题，是一项艰巨而复杂的工作。 倒立摆是一个典型研究对象，它能够有效的验证控制理论的正确性和在实际应用中的可行性，是理论研究和创新的试金石。 将鲁棒控制算法应用到倒立摆控制系统研究的同时，反过来也验证了鲁棒控制算法 优越性，最终使鲁棒算法进一步的与实际应用相结合。  控制理论 任何的控制理论和方法，都要求控制对象的精确模型或要求对象模型的不确定性和外界干扰满足特殊的假定。 无论是经典控制理论、现代控制理论还是自适应控制理论等，由于对象的不确定性和外界干扰往往不满足特殊性的假设条件，导致在实际控制系统中，想要得到控制对象的精确模型非常困难，甚至不可实现。 因而传统控制理论与实际工程应用之间的契合存在较大的差距。 总所周知， H 控制理论是鲁棒控制的一个重要分支。 在 20 世纪六十年代，状态空间方法长足发展，后来被称为现代控制理论出现在文献中，以 KalmanBucy 滤波器和最优二次调节理论为基础的 LQG 反馈设计 ( H 控制 )方法相继问世。 通常在对系统干扰信号作苛刻的要求的同时忽略了对象的不确定性，使得一些宝贵的现代控制理论的成果，未能获得较好的应用于实际控制系统的设计中，例如 LQG 理论等。 原因可归结为两个方面。 首先是由于在系统模型具有不确定性时， LQG 设计就不能保证系统具有鲁棒性，因此 它需要精确的数学模型；另外一方面是，在 LQG 设计中需要将干扰信号假定为白噪声，或假定干扰信号的统计持续性已知，然而在实际问题中，干扰的统计特性已知的情况很少，且干扰信号也会随着系统的运行而发生变化。 由于上述原因，导致 LQG 设计方法在理论上做得相当成熟，却不能有效的投入到实际应用当中。 1981 年 Zames 提出了著名的 H 控制思想，能够有效解决 LQG 设计过程中干扰信号所需限制的不合理性。 对于一个单输入、输出系统的设计：这类问题属于一个特殊的干扰信号，存在于有限能量 的信号集中。 目的是设计一个控制器使得闭环系统具备工程特性，系统稳定，并且外部干扰对系统期望输出影响最小。 有限输入能到输出能的最大增益可以用传递函数的 H 范效来进行描述，所以对系统进行优化设计的目标函数用影响传递函数的正细范数来表示，就可以将有限功率谱干扰对影响系统期望输出的成都降到最低。 综上所述 H 范数作为性能指标具备许多的优点： (1)研究在有变功率谱干扰时，仍然可以处理系统的控制问题； (2) PQ P Q   称为 H 范数的乘法性质，使得在具有不确定性因素时，研究对象的鲁棒稳定问题变得水到渠成。 北华大学学士学位论文 5 H 控制理论的 发展过程是漫长的，可以系统的描述为三个阶段。 第一阶段具有概念直观的特点，不过缺乏科学的计算方法。 1981 年到 1984 年期间，逼近法和插值法是研究 H 控制理论的主要使方法。 逼近方法的基础是 AAK 理论，虽然原理上较为复杂，但在算法上 已经取得了一定的进展；插值方法通常使用的是 Nevanlinna—Pick插值理论，有时候也以矩阵形式的 Sarason 理论为基础。 通常所说的 “1984年方法 ”是当时 Doyle 和 Glover 等人在 Honeywell 公司的 H 控制研讨会上，对 H 控制理论进行总结，从而形成的。 1985 年至 1988 年， H 控制理论发展的第二阶段是 H 控制获得成功突破的重要阶段。 在此期间发现许多控制问题都可统一于标准 H 问题，包括灵敏度极小化问题、混合灵敏度优化问题、两自由度问题、滤波问题、鲁棒镇定问题、跟踪问题和模型匹配问题等。 1987 年问世的研究 H 控制的书 “acourseinH controltheory”是 Francis 的得意之作，是第一部 H 控制理 论专著。 翌年，在全美控制年会上美国控制领域著名学者 Doyle 和英国学者 Glover 等发表了著名的 “2Riccati 方程 ”解法，这一成果的问世证明了 H 控制问题可以通过求解两个适当的代数黎卡提方程来得到。 1989 年以后， H 控制理论发展进入了理论研究逐步完善和推广的第三阶段。 在这段飞速发展的时期里，标准 H 控制问题解法的研究成果层出不穷，有 Green 等的J 谱分解方 法、 H 控制问题解法、 Kimura 的基于  ,JJ 无损分解理论以及微分对策方法、极大值原理方法等几种纯时域解法。 此外，近年来应用线性矩阵不等式 LMI方法求解 H 控制问题在研究中也取得了成果。 H 控制问题的纯时域解法除了能够解决系统的 H 线性时不变问题，还可以用来处理非线性系统、 时变系统、奇异摄动系统、分布参数系统等的 H 控制问题。 作为鲁棒控制理论中占有重要地位的一部分，H 控制理论迄今为止已经取得了丰富的研究成果，随着科学技术和理论成果的不断发展，在今后 H 控制理论必将成为工程控制领域的研究热点。 北华大学学士学位论文 6 第二章 预备知识 倒立摆控制系统概述 在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，存在一种可行性的试验问 题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆装置作为一个从控制理论通往实践的桥梁，在自动控制理论中倒立摆装置是各界学者公认的典型教学设备，是控制理论教学中具有代表性的被控科研对象，通过实施控制手段发挥控制系统的性能，可使之具有良好的稳定性。 想要解决控制中的理论问题，和将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，可以通过对倒立摆系统的研究来实现，在倒立摆系统中进行综合应用。 在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。 倒立摆系统是一个结构简单，价格低廉，方便控制的控制装置， 便于模拟操作和数字实现很多种不同的控制方法，它是一个作为高阶次、多变量，不稳定、非线性、强耦合的被控对象的快速系统，在控制方面，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。 倒立摆系统可以用 PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，来实现其稳定控制，这些方法都能在倒立摆控制系统上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明的情况下，可以考虑通过倒立摆装置来验证这种新的控制理论的正确性和实用性。 倒立摆的种类有：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。 一 级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。 倒立摆控制系统由倒立摆本体、包括运动控制卡和 PC 机在内的控制平台和电控箱三大部分组成。 稳定性理论概述 如今，广泛的应用于自动控制、生化反应、生态生物、航空技术等工程技术和自然科学方面的稳定性理论，是 19 世纪 80 年代俄国数学家 Lyapunov 创建的。 他的概念和理念也发展得十分迅速，在当今社会已经成为了控制领域的研究热点。 特别适合用于研究属于 “力学中的数学方法 ”。 稳定性的概念 由于系统的不同，初始值微分变化的影响也是不同的，我们假设如下 初始值问题 00, ( 0 ) x , 0 , 0dx a x x t xdt     （ ） 它的解为   0 atx t x e ，其中 0x 是（ ）式的一个解。 当 0a 时，不管 0x 有多小，在 t 时，如果 0 0x  ，始终有  xt ，也就是说初始值的微小变化极大的影响了解的误差，而当 0a 时，   0 atx t x e ，与 “零 ”解的误差不超过初始误差 0x ，北华大学学士学位论文 7 且随着 t 值增加很快消失。 所以， xt 与 “零 ”解的误差很小的条件是 0x 足够小。 这表明 0a 时式中的 “零 ”解是稳定的。 我们给出微分方程 “零 ”解趋于稳定的严格定义如下。 假设以下微分方程    00, , , ndx f t x x t x x Rdt    （ ） 满足 “解存在唯一 ”这个条件，它的解    00,x t x t t x 的存在区间是    , , , xf t t 还满足条件：  ,0 0ft （ ） 保证了 x(t)=0 是（ ）式的解，我们称它为 “零 ”解。 定义：若对任意给定的 0 ，均能找到  0,t   ，使得当 0x  时的解能够满足    0 0 0 0 0, , , , ,x t x x x t t x t t且    0 0 0 0, , , ,x t x x x t t x ， 0tt ，则称（ ）式的 “零 ”解是稳定的，否则 ()式的 “零 ”解就是不稳定的。 稳定性定理 Lyapunov 直接法 [13]（即第二法）探讨的是一个二维自治系统的稳定性，经过提炼概括合理分析语言，在原始几何思想的基础之上，给出了一条稳定性定理、一条渐近稳定性定理和两条不稳定性定理。 为稳定性理论的发展和完善奠定了牢固的基础，这些定理也因此被誉为稳定性判定的基本定理。 （ a）稳定性定理 将目标系统状态方程设为  ,x f x t ，且 0 0x 是它的平衡态。 如果连续一阶偏导数的正定函数  ,Vxt 存在且满足下述条件： 1)  ,Vxt 为非正定（包括半负定）的，则系统在原点处的平衡态是一致稳定的； 2) 再者，如果  ,Vxt 的定义域  为 nR ，当任意的 0t 和任意  0 0xt 时，  x,tV在 0tt 范围内不恒为零，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，反之不是。 随着 x 有  ,V x t  ，当前情况下系统在原点处的稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 （ b）渐近稳定性定理 设系统的状态方程如下  ,x f x t （ ） 0 0x 为平衡态。 如果存在一个满足下述条件的有连续一阶偏导数的正定函数 ,Vxt ： 1）若  ,V xt 为负定的 ,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的； 2）再者，随着 x ，有  ,V x t  ，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。 （ c）不稳定性定理 北华大学学士学位论文 8 假设  ,x f x t 是系统的状态方程， 其中 0 0x 是它的平衡态。 如果存在一个满足下述条件的有连续一阶偏导数的正定函数  ,Vxt ： 1)  ,V xt 为正定的，则该系统在原点处的平衡态是不稳定的； 2) 若  ,V xt 为非负定（不包括半负定）的，且对任意的 0t 和任意的  0 0xt ， ,V xt 在 0tt 时不恒为零，那么该平衡态 0x 也是不稳定的。 函数的构造 Lyapunov 直接法的核心技巧是构造 Lyapunov 函数，虽然人们针对不同实际问题已经运用多种方法 (能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方法等 )具体构造出满足需要的 Lyapunov 函数，并获得了广泛的承认，但构造 Lyapunov 函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验 和技巧．这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。 V 函数法 先设计 dVdt 负定（或半负定），然后积分求出 V ，来看 V 是否正定。 若正定，便 能断定系统平衡位置渐近稳定 (稳定 )；否则，也只好重新再找其它合适的 V函数。 V 函数法 先试探构造出正定 的函数 V （或变号 V ），然后沿系统解对函数 V 求导数 dVdt ，看条件能否保证。