关于均值不等式的探讨本科毕业论文(编辑修改稿)

关于均值不等式的探讨本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

证 明 在 (4)中 令 n＝ 3,得     1 2 3331 1 2 2 1 2 31 1 2 2 3 31 2 31 1 1a a aa a a            令 1 c 1 1a c, 2 ab , 2 1a b, 3 d , 3 1a d 得 1 1 111 a b c da b c a b d c a b dabcda c a b d ac a b db c b d c b d c b d                                                                        例 2 设 n 为 自 然 数 ,n≥ 2, 试 证    11222 3 41 2 12 3 4 . . .23n n n nnnn n             证 明 由 (5)得 1212 ...12121 2 1 2...... ...nnnna a a aaa                                      取 i ＝ i， ia ＝ 1 ， i＝ 1， 2， „ ， n,由 (6)得 11 2 3 1 2 3 . . .1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 4 1 2 3 1 2 3 . . . 2 12 3 4 . . . . . .1 2 3 1 2 3 . . . 3nnnnn n n nn nn                                            又取 i ＝ i， ia ＝ 1 ， i＝ 1， 2， „ ， n,由 (6)得 11 2 3 1 2 3 . . . 21 1 1 1 2...1 2 3 1 2 3 . . . 1nnnnnn n n                                         从而有  122 3 4 12 3 4 ... 2 nnn nn     2均值不等式的应用 ：待定系数法 不等式是高中数学的重要内容 , 均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据 , 在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等” , 而且要善于根据均值不等式的结构特征 ,创设应用均值不等式的条件 ,利用待定系数法凑定值是常用的解题技巧 , 本文举例说明 . 例 1 已知 a 0 , b 0 ,且 a + b = 1 ,求 1ab ab 的最小值 . 解 设 m 0 ,则由题设及均值不 等式可知 :    11 1 2 1a b m a b m a b m m a ba b a b        (1) 毕业论文 (1) 式当且仅当 1mab ab ,即 1abm时取等号 .又 122ab ab ,即 0 14ab ,亦即 0 14ab  (2) 显然 (1) , (2) 同时取等号的充要条件是 112{ab mab 解 之得 m = 16. 代入 (1) 得 :    1 1 1 72 1 6 1 1 6 8 1 5 8 1 5 ( )44a b a b a bab           . 故当且仅当 12ab 时 , 1ab ab 取到最小值 174 . 例 2 若 a 11,22ab  ,且 a + b = 1. 求证 : 2 1 2 1 2 2ab    证明 设 m 0 ,则 1 2 12 1 222a a m am              .由均值不等式得1()1222mama    . ∴ 12 1 2 22122maa m amm      (1)其中当且仅当 12ma 时取等号 . 同理可得 : 12 221 2mbb m   (2)其中当且仅当 12mb 时取等号 . 显然 (1) , (2) 同时取等号的充要条件是 1212{mamb .由于 a + b = 1 , 故可解得121{abm 将 m = 1 代入 (1) , (2) ,并将两式相加得 毕业论文 111 ( ) 1 ( )222 1 2 1 2 2 222abab         即 2 1 2 1 2 2ab    运用均值不等式解题的主要技巧 利用均值不等式解题的关键是凑“ 定和”和“定积”，此时往往需要采用“ 拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果 ! 拆项 例 1（原人教版课本习题） 已知 n0, 求证：24 3n n 证明 ：因为 n0，所以 32 2 24 4 4332 2 2 2n n n nn n n n        当且仅当 n=2 时等号成立 ! 拆幂 例 2 (1993年全国高考题） 如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，那么圆柱体积的最大值（） A． 36l  B. 33l  C. 34l  D. 3144l  解 设圆柱底面半径为 r，高为 h，则 2h+4r= l ，即 2 2lhr 所以 33236r r h lV r h r r h                 ，故选 A. 升幂 例 2 设 0,2x ，求 2sin cosy x x的最大值 . 解 因为 0,2x ，所以 2sin cosy x x≥ 0，所以32 2 22 4 2 2 2 211s i n s i n c o s1 1 422s i n c o s 4 s i n s i n c o s 42 2 3 2 7x x xy x x x x x      毕业论文 所以 239y 当且仅当 221 sin cos2 xx 即 tanx= 2 时等号成立，故max 239y . 整体代换 例 4 已知 ,x y R ，且 x+2y=1，求证： 11 3 2 2xy   证明 ：因为 ,x y R ， x+2y=1，所以 1 1 1 1 2 22 3 3 2 3 2 2y x y xxyx y x y x y x y           . 当且仅当 2yxxy ，即 21x， 21 2y 时等号成立 . 平衡系数             33 2 1 8 5110 .5 3 .2 2 3 2 1 8 5 1 .81 5 1 5 3x x xy x x x x x x              分 离取倒数 解 令 2tx，则  2 20x t t   ，  2 021tytt 当 t=0时， y=0。 当 t0时， 1 1 21 412 22y t tt t   ，当且仅当 12t t ，即 22t 时取等号 . 所以当 32x 时函数取最大值 24 . 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三等”，同时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式 . 应用均值不等式求最值问题 毕业论文 均值不等式 2ab ab  ( a 0 , b 0 , 当且仅当 a = b时等号成立 ) 是一个重要的不等式 ,利用它可以求解函数最值问题 . 对于有些题目 ,可以直接利用公式求解 . 但有些题目必须进行必要的变形才能利用 ,下面是一些常用的变形技巧 . 配凑 1) 凑系数 例 1 当 0 x 4 时 ,求 maxy = x (8 2 x) . 解析 由 0 x 4 , 有 8 2 x 0 , 利用均值不等式求最值 ,必须和为定值或积为定值 ,此题为 2 个式子的积的形式 ,但其和不是定值 . 注意到 2 x + (8 2 x) = 8 为定值 ,故只需将 y = x (8 2 x) 凑上一个系数即可 .     21 1 2 8 28 2 2 8 2 82 2 2xxy x x x x         ,当且仅当 2 x = 8 2 x 即 x = 2 时取等号 ,所以当 x = 2时 , y = x (8 2 x) 的最大值为 8. 点评 本题无法直接运用均值不等式求解 ,但凑上系数后即可得到和为定值 , 就可利用均值不等式求得最大值 . 2) 凑项 例 2 已知 54x ,求函数   142 45f x x x   的最大值 . 解析 由已知 4 x 5 0 ,首先调整符号 ,因为   14245x x  不是定值 ,故需对 4 x 2 进行凑项得到定值 . 因为 54x ,所以 5 4 x 0 ,    115 4 3 2 5 4 3 2 3 15 4 5 4f x x xxx              .当且仅当154 54x x 即 x = 1 时等号成立 . 点评 本题需要调整项的符号 ,又要配凑项的系数 ,使其积为定值 . 3) 分离 例 3 求  2 7 10 11xxyxx   的值域 . 解析 本题看似无法运用均值不等式 , 如将分子配方凑出 ( x + 1) ,再将其分离 .      21 5 1 4 41511xxyxxx       . 当 x + 1 0 ,即 x 1 时 ,   42 1 5 91yx x     (当且仅当 x = 1 时取“ = ”毕业论文 号 ) . 当 x + 1 0 ,即 x 1 时 ,   45 2 1 11yx x    (当且仅当 x = 3 时取“ = ”号 ) . 故所求的值域为 ( ∞ ,1 ] ∪ [9 , + ∞ ) . 点评 分式函数求最值 ,通常化成    Ay m g x Bgx   ( A 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒负 ) 的形式 ,然后 运用均值不等式来求 . 整体代换 例 4 已知 a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求 11t=ab 的最小值 . 解析  1 1 1 1 1 1 2 2 21 2 1 2 3 3 2 3 2 2b a b a b aaba b a b a b a b a b a b                             当且仅当 2baab 时取“ = ”号 . 由 221baabab ,得 2121 2ab,即 2121 2ab时 , 11t=ab 的最小值为 3 2 2 . 点评 本题巧妙运用“ 1”的代换 ,得到 23 bat a。