关于凸函数的研究毕业论文(编辑修改稿)

关于凸函数的研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

 x  在区间 I 上存在，则 x 在 I 上成为凸函数的充分必要条件是：在 I 上   0x  ． 证明 ：必要性，已知 x 为凸函数，令 122xxt  ， 122xxh  ，并设 12xx 因而0h ，这样就有      2t h t ht     ，即      20t h t h t      ．用反证法，假设  0t  ，由      0l im 2ut u t ut u     可知，存在 0 ， 0h ，使得   t u t u u        0 uh 另外，从          2d t u t u t t u t udu            知      2t u t u t     是 u的减函数．但这函数当 0u 时等于 0 ． 因此，      20t u t u t      ．这与结论矛盾，因而   0x  关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计（论文） 9 充分性，两次应用 Lagrange 中值定理有      h t x h x h        01 及      h x h x h               01， 从而        2x h x h x h x h             再由   0x  得      x h x h x    ． 在上式中，令 1x h x ， 122xxx  及 2x h x ， 122xxx  得    1 2 1 21 22x x x xxx            ，    1 2 2 12 22x x x x             两式相加得    1212202xxxx    ．故 x 为凸函数．证毕． 例 函数   lnx x x  在  0, 内是凸函数，因为   1 0x x  0x ． 定理 ： 若在区间 I 上存在 x ，   0x  ，则 x 在区间 I 上是严格凸函数． 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计（论文） 10 第 3 章 凸函数的性质 运算性质 性质 1： 若函数 fx和 gx均为  ,ab 上的凸函数，则函数    f x g x 也为  ,ab的凸函数． 证明 ：因  fx， gx是凸函数，有定义可得，若对区间  ,ab 上任意两点 12,xx和正数  0,1 总有         1 2 1 211g x x g x g x        则         121f x g x h x h x x                1 2 1 211f x f x g x g x                  1 1 2 21f x g x f x g x                121h x h x   即    f x g x 为凸函数。 性质 2： 若函数 fx为  ,ab 上的凸函数， k 为正常则函数 kf x 也为  ,ab 上的凸函数． 证明： 因 fx是凸函数，由定义知，若对区间  ,ab 上任意两点 12,xx和正数 0,1 总有         1 2 1 211f x x f x f x        在上式两边同时乘以正常 k 得 ：         1 2 1 211k f x x k f x f x        故 kf x 也为凸函数。 推论 1： 若函数 fx和 gx均为  ,ab 上的凸函数，则线性组合的函数   12k f x k g x  12,0kk 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计（论文） 11 为  ,ab 上的凸函数． 性质 3: 若函数 fx和 gx均为  ,ab 上的凸函数，则 函数       m a x ,h x f x g x 为  ,ab 上的凸函数． 证明 ：因为 fx， gx是凸函数，即对  ,ab 内任意两点 12,xx和正数  0,1 总有               1 2 1 2 1 21 1 1f x x f x f x h x h x                           1 2 1 2 1 21 1 1g x x g x g x h x h x             从而有          1 2 1 2 1 21 m a x 1 , 1h x x f x x g x x                 121h x h x   所以       m a x ,h x f x g x 为  ,ab 上凸函数 性质 4： 若函数 u 是单调递增的凸函数，函数  u f x 也是单调递增 的凸函数，则复合函数  fx也是凸函数． 证明 ：因为函数 u 是单调递增的凸函数，函数  u f x 也是单调递增的凸函数．故  0u  ，   0u  ，   0ux  ，   0ux  又          x u u x u u x       所以  0x  ， 既证函数  fx是凸函数． 性质 5： 若函数 fx与 gx都是  ,ab 上的非负单调递增的凸函数，则函数     h x f x g x 也是其上的凸函数． 证明 ：因为函数 fx与 gx在区间  ,ab 上是非负单调递增．则  12,x x a b且 12xx 和   0,1 有        1 2 2 1 0f x f x g x g x         关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计（论文） 12                1 2 2 1 1 1 2 2f x g x f x g x f x g x f x g x   又因为函数 fx与 gx在区间  ,ab 上是凸函数． 所以        2 1 2 111f x x f x f x        ， 1        2 1 2 1g x x g x g x        2 又因为   0fx ，   0gx ．将上述两式 1 与 2 相乘得    2 1 2 111f x x g x x                                222 2 1 2 2 1 1 111f x g x f x g x f x g x f x g x         既证      h x f x g x 在区间  ,ab 上是凸函数． 性质 6： 若函数 fx为区间 I 上的凹函数，   0fx ，则函数 1fx为区间 I 上的凸函数，反之不真． 证明 ：要证 1fx为区间 I 上的凸函数，即证明任意 1x ， 2x  R ，  0,1 有      1212111 f x f xf x x   ，因为   0fx ，为凹函数．故有         1 2 1 211f x x f x f x        所以：         1212 11 f x f xf x x    只需证明：          1 2 1 2111f x f x f x f x  ， 由于        22 2f x f y f x f y，故       1212111 f x f xf x x   成立，结论得证． 分析性质 性质 7： 若函数 fx是定义在区间 I 上的凸函数，则 fx在 I 内的任意有限闭子区间上有界． 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计（论文） 13 证明 ：设  ,ab 是 I 内的任意有限闭子区间，则对  ,x ab ，存在 01，使得  1x a b   ，由凸函数的定义知：                1 1 m a x ,f x f a b f a f b f a f b          因此 fx在  ,ab 上有上界，设其上界是 M ． 再证 fx在  ,ab 上有下界： 对任意的  ,x ab ，令  12t x a b   ，则 112 2 2 2 2a b a b a bf f t t                         1 1 12 2 2 2 2a b a bf t f t f x M               所以   22abf x f M，记 22abm f M． 综合上述，    ,m f x M x a b I    性质 8：若函数 fx是定义在区间 I 上的凸函数，则对任意的 1 2 3,x x x I ，且1 2 3x x x，有            2 1 3 1 3 22 1 3 1 3 2f x f x f x f x f x f xx x x x x x 证明 ：令 32 213 1 3 1,1xx xxx x x x   ，则  2 1 31x x x   ，由 fx的凸性可知          2 1 3 1 311f x f x x f x f x         从而有                  2 1 1 3 1 3 111f x f x f x f x f x f x f x                         3 2 1 3 3 3 11f x f x f x f x f x f x f x       。