jordan标准型与矩阵可对角化(毕业论文)(编辑修改稿)

jordan标准型与矩阵可对角化(毕业论文)(编辑修改稿)内容摘要：

n   必定线性无关 .同样 ,因为这些 12, , , n  非零 ,（ 4）表示 12, , , n   是特征值 , 12, , , n   是相应的特征向量 .这就证明了定理中第一 ,第二和随后的第三个命题的必要性 . 最后 ， 给定任意 n 个特征向量 12, , , n   ， 用它们作为矩阵 P 的列 ,并用相应的特征值来构造矩阵 D ,由 （ 1） ~（ 3） ,等式 AP PD 成立而不需要特征向量有任何条件 .若特征向量是线性无关的，则 P 是可逆的 ,由 AP PD 可推出 1A PDP .证毕 . 例 题 4 可能的话 ,将下面的矩阵 A 对角化 ： 2 4 34633 3 1A    解 由 A 的特征多项式 ： 3 2 20 de t ( ) 4 ( 1 ) ( 2)AI               得特征值是 1 和 2 .但当我们找特征向量时 对于 1 的特征向量： 1111 毕业论文 第 11 页 共 27 页 对于 2 的特征向量 ： 2110 没有有其他特征向量了 ,A 的每个特征向量都是 1 或 2 的倍数 ,因此不能利用A 的特征向量构造出 3 的基 .由定理 ,A 不能对角化 . 3． 2 Jordan 标准型 与对角化的关系 定义 8 形如 1212()()()knnnkJJJJ,（ 12+ + =kn n n n ） 的 块对角阵为 Jordan 型矩阵 ,并称方阵 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i k  为 in 阶 Jordan 块 . 注意 当 ()iniJ 都是一阶 Jordan 块时 ,即      121 1 2 2( ) , ( ) , , ( )kn n n k kJ J J       , 有 J 为对角阵 ,由此看出 对角阵 其实 只是 Jordan 阵的特例 . 性质 1 矩阵 J 可对角化 ,当且仅当 kn . 性质 2 Jordan块的个数 k （相同的子块计重复出现的次数）是 J 的 .线性无关特征值向量的个数 . 定理 9 两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价 . 定义 9 称 n 阶数字矩阵 A 的特征矩阵 EA  的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵 A 的行列式因子、不变因子和初等因子 . 定理 10 两 个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子） . 毕业论文 第 12 页 共 27 页 定理 11 复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子 . 注意 其实 ,结合上定理 ,不难发现 初等因子  ma 与 m 阶 Jordan 块 mm11aaa  存在一一对应关系 .因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的 Jordan 标准型 ,即有如下定理： 定理 12(Jordan 标准型 定理 ) 复数域上任何一个数字方阵 A 都与一个Jordan 型矩阵相似 ,这个 Jordan 型矩阵除去其中 Jordan 块排序外是被 A 唯一确定的 ,称它为 A 的 Jordan 标准型 . 证明 : 设 n 阶复矩阵 A 的初等因子为 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss        其中 12, , , s   可能有相同的 ,指数 12 smm m 也可能有相同的 .每一个初等因子 m()ii 对应于一 个 Jordan 块 , 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i s . 这些 Jordan 块构成一个 Jordan 型矩阵 , 12sJJJJ 易知 , J 的初等因子就是 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss       . .由于 J 与 A 有相同的初等因子 ,所以它们相似 . 假设有另一个 Jordan 型矩阵 K 与 A 相似，那么与 A 有相同的初等因子，因此， K 与 J 除了其中 Jordan 块排序外是相同的，唯一性得证 .证毕 . 毕业论文 第 13 页 共 27 页 例 题 5 （ 1） 在 例 中 求出的 B()的初等因子的基础上 ,求出 B 的 Jordan 标准型 . （ 2） 求出例 的 Jordan 标准型 . 解 （ 1） 由于 B()的初等因子为 :    33,a b a b    所以 B 的 Jordan 标准型为 1111abababababab （ 2） 由 22 4 3 14 6 3 13 3 1 ( 1 ) ( 2)IA                           知 A 的 Jordan 标准型为 1212. 4 Jordan 标准型的性质 及 应用 Jordan 标准化 的应用是广泛的 ,下面 将利用其给出 H am ilton C ayley定理的证明 ,并说明其 在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用 . 4． 1 Jordan 标准型 在证明 H am ilton C ayley 定理中的应用 定理 [4]13 （ H am ilton C ayley 定理 ） 设 A 是 复数域 C 上任意 n 阶方阵 , A 的特征多项式为 () IA  ||,则 ( ) 0A  ,其中 I 为 n 阶单位矩阵 . 毕业论文 第 14 页 共 27 页 证明 ：存在秩为 n 的 n 阶 复 方阵 P ,使 1P AP J  ,其中 J 是 A 的 Jordan标准型 ,可以写成 12nJ, 其中  代表 1 或 0,因为 12, , , n   是 A 的 特征值 ,故 12( ) = nIA        | | ( ) ( ) ( ). 从而 12( ) nA A I A I A I   = ( )( ) ( ) 1 1 1 11 2 1 2 ( nnP J P I P J P I P J P I P J I J I J I P        = ( ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) 12 121 2 112000nnnnPP                                    = 12 10 0 00 0 00nn              。