hermite插值的上机实现及应用课程设计(编辑修改稿)

hermite插值的上机实现及应用课程设计(编辑修改稿)内容摘要：

3( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x a h x a h x a h x a h x    如果希望插值系数与 Lagrange 插值一样简单，那么重新假设 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x       3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x             其中 00()1x  01( ) 0x  00( ) 0x  01( ) 0x  10( ) 0x  11( ) 1x  10( ) 0x  11( ) 0x  00( ) 0x  01( ) 0x  00()1x  01( ) 0x  10( ) 0x  11( ) 0x  10( ) 0x  11( ) 1x  可知 1x 是 0()x 的二重零点，即可假设 201( ) ( ) ( )x x x ax b   . 由 00()1x  00( ) 0x  可得 3012()a xx . 0230 1 0 121( ) ( )xb x x x x ))(()( 10 baxxxxa  })( 2)( 1)( 2{)( 310 021031021 xx xxxxx xxx  2 0120 1 0 1 0 12() 21 xxx xx x x x x x     2101010 ))(21( xx xxxx xx  )())(21( 201 xlxl  ... ... 11 Lagrange 插值基函数如下式所示 22 0 10 1 0 1 0 0 1( ) ( 1 2 ( ) ) ( ) 1 2 xx xxx l x l x x x x x               类似可得 2 11 0 1 01( ) (1 2 ( ) ) ( ) 1 2 xxx l x l x xx        22 10 0 0 001( ) ( ) ( ) xxx x x l x x x xx         22 01 1 1 110( ) ( ) ( ) xxx x x l x x x xx       将以上结果代入 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x       得两个节点的三次 Hermite 插值公式 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x       2 2 2 20 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1( 1 2 ( ) ) ( ) ( 1 2 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y l x l x y l x l x y x x l x y x x l x               2 2 2020 1 10 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 0 1 1 01 2 1 2x x x xx x x x x xy y y x x y x xx x x x x x x x x x                                         注解 二点三次 Hermite 插值的余项 3R (x)= !4 )(4f 20)( xx 21)( xx 10 xx  167。 Hermite 插值的几个重要定理 定理 误差定理 若 ),(22 baCf n ， 则 fx关于  ,ab 上节点 nix}{ 的二重 Hermite 插值多项式误差为 12 ( 2 2 ) 22 1 2 1 ()( ) ( ) ( ) ( )( 2 2 ) !nn n nfR x f x H x w xn     定理 唯一性定理 Hermite 插值问题的表达式 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , ,iiH x f x i n. ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , ( )iiH x f x i r r n  . 的解 H(x) 存在而且唯一 . 定理 Hermite 插值余项定理 Hermite 插值公式的余项为 ( 2 ) ()( ) ( ) ( ) ( )( 2 ) !nrnrff x H x w x w xnr  . 其中 , 是插值区间  ,ab 内的某一点 . 167。 Hermite 插值的优点 分段线性插值的算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等 . Hermite 插值的逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且逼近函数与被逼近函数在插值节点上去相同的若干阶导数值 . Hermite 插值法结合了函数的导数值，使得插值的精度更为提高 . Hermite插值 具有少节点得到高次插值多项式的特点 . Hermite 插值 插值多项式灵活多样 . Hermite 插值 在节点一定的条件下，可以多种构造插值条件 . 167。 Hermite 插值的源程序 167。 三次 Hermite 插值的 C 程序 例 已知函数 y=1/(1+x2) 13 在区间 [0,3]上取等距插值节点，求区间 [0,3]上的分段三次埃尔米特插值函数，并利用它求出 f()的近似值（ ） 表 12 例题数据表 ix 0 1 2 iy 1 39。 iy 0 注解 本例题程序流程图及 C程序详见附录 A. 167。 二重 Hermite 插值的 matlab 程序 注解 程序及程序演示详见附录 B 第二章 Hermite 插值的应用 167。 Hermite 插值函数的工程应用 14 对于同一个问题运用不同的方法或许都能得到相同的结果，但是每一个方法都有其得天独厚的优势以及劣势 .特别是在现在这个现代化的信息时代，计算已经变得越来越重要，对计算结果的要求也十分苛刻 .插值方法在实际问题中有着广泛的应用它能使一个有着大量数据的问题变得简单明了、易于观察，因此，地位自然不喻 .Hermite插值 为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等 ,凭借其精度高，计算严谨被大多数人应用了起来 . 算例分析 在土方工程中，土的最大干密度与最优含水量是确保路基压实质量的两个关键指标 ,利用埃尔米特插值函数求得的干密度、含水量能更好地逼近试验得到的 dp 一  曲线，求解精度较高 . 通过绘制干密度与含水量的相关曲线，即 pd 一  曲线，求得最大干密度与最优含 水量的方法为图解法。 图解法因简便直观而在实际工作中被广泛采用，但图解法随意性大，易产生人为误差。 目前，数解法主要有两类：一是利用曲线拟合法求解，二是利用代数插值求解 .用上述方法分别对试验的工程实例进行了求解，发现所得结果 的差值较大，其中最大干密度差值达 ～ 3/cmg ，最佳含水量差值达 ％ ～ ％ .在本研究中利用埃尔米特插值问题，试图更加精确地求解最大干密度与最优含水量 . 例 某公路工程路基填七的一组室内 标准击实试验结果见表 21，由表 21可知，其最火干密度应在含水量 ％附近 . 表 21 室内标准击实试验结果 试验序号 1 2 3 4 5 含水量  % 干密度 dp（ g 3cm ) 根据图解法 ,将最大干密度定为 g/ 3cm ,对应的最优含水最为 ％ .而根据 dp 曲线图，最优含水量在 12％附近更为恰当 .下面利用埃尔米特插值函数求解最大干密度与最优含水量 .取 2,1,0  分别为 、 、 ， 对应的 )( if 分 别 为 、 、 ，得 到 ][ 1,0f = 0． 01l 905, ],[ 21,0 f =. 15 步骤一 建立干密度、含水量的埃尔米特插值函数 .利用式 ))()((],[ 21021,0   Af 建立干密度、含水量的埃尔米特插值函数为 H (  ) = + ( ) 419 4( ) ( ) +A( ) ( )( )， 利用式子 ))(( ],[)(],[)( 2101 21001101     fffA. 可得 A = )( 139。 f + . 步骤二 求解最大干密度与最优含水量 .取 3 = ％， 对应的 )( 33 fpd  =, 根据插值条件 )()( 33  fH  , 代入式 A = )( 139。 f + , 令 0)(39。 H , 得   , 解此方程得最优含水量为 ％ .得最大干密度为 1． 85 g／ 3cm . 步骤三 误差分析：由表 21中试验数据可得 54310 1。