行列式乘法规则的证明方法及其应用_毕业论文(编辑修改稿)

行列式乘法规则的证明方法及其应用_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

Dn n n n m n m n mn n n c c cnn            2 21 22 21 2 1 2,1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0rrr r rr r r rrn c c cn n n c c c 然后再依次按 1r 行， 2r 行 ,… ,21r 行展开，则有 原式 =1 1 1 1 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 22 1 2 2 21212=.1 0 0 0rrrrr r r r r rr r r rn c c cc c cn c c cc c cn c c cc c c 因此，由引理 1 及引理 2 知行列式的乘法规则成立。 首先需证明以 下引理： 引理 3 行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。 证明 令 M 为行列式 D 的任一 r 阶子式 ,M 为 M 对应的余子式。 令 M 展开后 的一般项为 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1 ) ,rr rrp p p q q q p q p q p qa a a  （ 1） 其中 12, , , rp p p 为从小到大的行排列， 12, , , rq q q 为次序不定的列排列。 6 再令 M 展开后的一般项为 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1 ) ,r r n r r n r r r r n np p p q q q p q p q p qa a a        （ 2） 其中 12, , ,r r nq q q 为从小到大的列排列，12, , ,r r np p p为次序不定的行排列。 又1 2 1 2, , , , , , ,r r r np p p p p p与1 2 1 2, , , , , , ,r r r nq q q q q q都为 1,2, ,n 的一个排列。 从而将式（ 1）（ 2） 相乘，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) r r r r n r r n r r r r n np p p q q q p p p q q q p q p q p q p q p qa a a a a          . 显然1 1 2 2 1 1r r r r n np q p q p q p q p qa a a a a为 D 展开后的任意项。 再者 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ] ,r r r n r r r n rp p p p p p p p p p p p p p p r             （ 3） 我们注意到 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )r r r n r r r np p p p p p p p p p p p      ， 因为 12, , , rp p p 中的任意项也会与 12, , ,r r np p p 中的任意项构成逆序，产生逆序数。 在 12, , ,r r np p p 中能与 1p 构成逆序的有 1 1p  项，能与 2p 构成逆序的有 2 2p  项，依此类推，能与 rp 构成逆序的有 rpr 项。 所以有（ 3）式成立。 又由于 1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ] ,r r r n r r n r r nq q q q q q q q q q q r q r q n q                （ 4） 我们注意到 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r r r n r r nq q q q q q q q q q q     ， 因为 12, , , rq q q 中的任意项也与 12, , ,r r nq q q 中的项构成逆序，产生逆序数。 比 1rq项大的有 1rnq 项，而 12, , ,r r nq q q 中有 1nr 项，所以 12, , , rq q q 能 与 1rq 构成逆序的有 1( 1) rrq 项，同理在 12, , , rq q q 中能与 2rq 构成逆序的有 2( 2) rrq 项，依此类推，能与 nq 构成逆序的有 nnq 项。 所以有（ 4）成立。 因此，我们有 7 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]= ( ) + ( ) (r r r r n r r nr r r n rr r n r r nr r r n r r np p p q q q p p p q q qp p p p p p p p p rq q q q q r q r q n qp p p p p p q q q q q p p p                               121 2 1 2 1 2 1 1 2121 2 )( 1 ) ( 1 )[ ( 1 2 ) ( ) ]22( ) + ( ) 2 ( 1 2 ) ( )( ) .rrr r r n r r n rrrn n n nr q q qp p p p p p q q q q q r p p pq q q                         。