矩阵在数学中的应用本科毕业论文(编辑修改稿)

矩阵在数学中的应用本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

1 ,  33)( 2299100 cbag 0000110112111101013631321312 . （ 3）矩阵的特征多项式有重根 . 同上法 ,为获得足够的信息求出 )(r ,可对 )()()()(  rqfg  求导 . 例 3 已知210111111 ,求100 . 2020 届数学与应用数学专业毕业（论文） 第 9 页 共 24 页 解 A的特征多项式是 )2()1()d e t ()( 2  f 令 100)(  g ,做带余除法 0122)()()( bbbqfg   以 2,1 分别代入上式 ,有  100012 012 234)2(1)1( bbbg bbbg 为求 )2,1,0( ibi ,就 )(g 对  求导得 1001239。 239。 1 0 02)()()()]1()2)(1(2[)(   bbqgqg 以 1 代入上式 ,有 1002 12 bb ,从而求得 100020201002 2102,3022,2201  bbb , 于是  0122100 bbb . 对于秩为 1的 n阶方阵 A有下面定理 定理 1 对于 n 阶方阵 A,若 1)( rank ,那么 A可分解为一个列向量与一个行向量的乘积39。  ,其中nn bbbbaaaa.,.321321. 例 4 已知1233321231211,求 n . 解 显然 1)( rank ,并且1233321231211 3121132`1 , 杨灿：矩阵及其应用 第 10 页 共 24 页 而 331211321 ,所以 123332123121133312113213 111 nnnn. 可分解为数量矩阵和零幂矩阵之和的情况 要点 观察推敲矩阵 A ,看其是否可以分解为一个数量矩阵  与一个零幂矩阵  之和 ,即 A ,其中 Om ,但 Om  1 ,因为数量矩阵  和  可 以交换 ,于是由二项式定理得 mmnknnkknnkkknnknn mnnknknA     100 )()(. 例 5 已知矩阵 ,2020420000210042A ,求 nA . 解 观察矩阵 A 的特点 ,可先将其分块写成  CO OBA,其中  21 42B,  20 42C,则 nnn CO OBA ,下面就先求 nB 和 nC . 显然 1)( Br ,即 pqB ,这里  12p,  21q,且 4qp ,所以 BB nn 14  . 至于  200 40220 42C,  00 40满足 OP2 ,代入上述给出的二 次项式公式   nnnnnnnnn nnnPC20 24222)2()2()2(111. 因此本题得解  nnnnnnnA2020242000042000442111. 归纳法 2020 届数学与应用数学专业毕业（论文） 第 11 页 共 24 页 例 6 已知100101A ,求其 n 次幂 . 解 先来计算 A 的较低次幂 2A 和 3A ,由矩阵乘法直接计算得  100210221 22 A , 1003103331 23 A ,„„ 由此猜想 100102)1(1 2nnnnnA n . 以下用数学归纳法加以证明 . （ 1）当 1n 时成立 . （ 2）归纳假设结论对 kn 时亦成立 ,即  100102)1(1 2kkkkkA k . 所以当 1kn 时 , AAA kk 1 ,而  100)110)1(2 )1()11100101100102)1(1 22kkkkkkkkkkAA k , 即当 1kn 时成立 ,从而证明结论成立 .即 100102)1(1 2kkkkkA k . 利用相似变换法 要点 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时 ,即存在可逆矩阵  ,使 1 ,其中杨灿：矩阵及其应用 第 12 页 共 24 页  为对角阵 ,其对角线上元素为矩阵  的特征 值 .由上可得 1 , 1 nn .于是求 的方幂就转化为求过渡矩阵  和对角阵 n ,而对于  和阵 n ,我们应用代数知识要好求得多了 ,具体如下 : 例 7 已知122212221 ,求其 n 次幂 . 解 经过计算 ,矩阵  的特征值 1 和 5 ,对于特征值 1 有线性无关特征向量T)101(1  和  3 0 1 1 T   T1102  . 对于特征值 5 有特征向量 T1113  . 令  111110101, 321  , 即  可逆 ,且有 ,5000)1(000)1(,5000100011 nnnn 于是 ., 11   nn计算得 nnnnnnnnnnnnnnnnnnn52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(31111111. 利用 Jordan标准形 例 8 已知411301621 ,求k . 解 第一步 :首先求矩阵  的若尔当标准形 .由 2)1(0001000141131621 . 从而初等因子为 )1(  , 2)1(  ,故  的若尔当标准形100010001J . 2020 届数学与应用数学专业毕业（论文） 第 13 页 共 24 页 第 二步 :求可逆矩阵 T 使 JATT 1 ,即 TJAT . 设 ),( 321 T ,所以有 332211 ,   . 由 22   得 32)(   ,设  Txxx 3212 , ,  Tyyy 3213 , ,则由 3221321000311622311311622)(yyyyyyy, 而 32)(   有解 ,故 32 yy  ,又 33   ,从而 0)( 3   即 0311311622321yyy, 于 是 有 03 321  yyy , 所以得 21 2yy . 令 132 yy , 则 21y . 于是T)112(3 ,再解 T)001(2  . 于是求得   101100213, 321 T . 第 三步 :由第二步得 1 TJT .   kkkkkkkkkkTTJ kk31316221010311110100100011011002131 . 解线性方程组 定理 1 （克拉默法则） 如果线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 （ ） 杨灿：矩阵及其应用 第 14 页 共 24 页 的系数矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的行列式 ,。