直线倒立摆系统的lqr控制器设计及仿真_毕业设计(编辑修改稿)

直线倒立摆系统的lqr控制器设计及仿真_毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

直线一级倒立摆系统数学模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 21 所示。 我们不妨做如下表 21 假设： 表 21 直线一级倒立摆相关假设量 字母 代表的对象 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车的位置 10 图 21 直线一级倒立摆模型  摆杆与垂直向上方向的夹角  摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图 22 是系统中小车和摆杆的受力分析图。 其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义 如 图 22 示方向。 图 22 矢量正方向 根据 小车水平方向受的合力，可以列出以下方程： NxbFxM   （ 21） F P N F x x xb P  mg N X F  摆杆 l 11 根据摆杆水平方向的受力情况可以得到下面的等式： )s in(22 lxdtdmN  （ 22） 即：  s inc os 2 mlmlxmN  （ 23） 把式（ 23）代入式（ 21）中，就得到系统的第一个运动方程： FmlmlxbxmM   s i nc o s)( 2 （ 24） 为了推导系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )co s(22 ldtdmmgP  （ 25）  c o ss in 2 mlmlmgP  （ 26） 力矩平衡方程如下：  INlPl  c oss in （ 27） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s ins in,c osc os,  故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：  c o ss in)( 2 xmlm g lmlI   （ 28） 设   （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 ），假设  与 1（单位是弧度）相比很小，即  1，即可以进行近似处理： 0)(,s in,1c o s 2  dtd 。 用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下：    umlxbxmM xmlm g lmlI   )( )( 2 （ 29） 对式（ 29）进行拉普拉斯变换，得到    )()()()()( )()()()(22222sUssmlssbXssXmM ssml Xsmg lssmlI  （ 210） 注意：推导传递函数时假设初始条件为 0. 由于输出为角度  ，求 解方程组的第一个方程，可以得到： 12 )(])([)(22 ssgmlmlIsX  （ 211） 或 m glsmlI m l ssX s  222)()( )( （ 212） 如果令 xv  ，则有： m g lmlI mlSV s s)()( )( 22 （ 213） 把式（ 213）代入式（ 210）的第二个方程，得到： )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM    （ 214） 整理后得到传递函数： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs23242)()()()( （ 215） 其中 ])())([( 22 mlmlImMq  设系统状态空间方程为： DCXy BuAXX   （ 216） 方程组对 ,x 解代数方程，得到解如下： uM mlmMImlM mlmMImMmg lxM mlmMIml buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(（ 217） 整理后得到系统状态方程： 13 uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMmglM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010uxxxy0001000001 （ 218） 由（ 29）的第一个方程为： xmlm g lmlI   22 )( 对于质量均匀分布的摆杆有： 231mlI 于是可以得到： xmlmg lmlml   )31( 22 化简得到： xllg  4343   （ 219） 设   xuxxX   ,  则有： uxxxyulxxlgxx00010000014301004300100000000010 （ 220） 另外，也可以利用 Matlab 中 tf2ss 命令对（ 213）式进行转化，求的上诉状态方程。 14 实际系统的模型参数如下表 22 所示： 表 22 直线一级倒立摆模型相关参数 字母 代表的对象 实际数据 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 *m*m 把表 22 中的参数代入，可以得到系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数： 2 67 10 21 0 27 )( )( 22 s ssX s （ 24） 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： )( )( 2  ssV s （ 225） 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 3 0 9 4 1 6 8 8 3 1 6 3 5 6 5 )( )( 23  sss ssU s （ 226） 以外界作用力作为输入的系统状态方程： uxxxyuxxxx00010000013 5 6 5 08 8 3 1 6 008 2 8 3 5 6 5 100006 2 9 3 1 8 8 3 1 6 0010 （ 227） 以小车加速度作为输入的系统状态方程： 15 uxxxyuxxxx00010000013010100000000010 （ 228） 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析 能控性与能观性是现代控制理论中两个重要的基本概念，它是卡尔曼在1960 年首先提出来的。 在现代控制理论中，分析和设计一个控制系统时，必修研究这个系统的能空性和能观性。 状态方程描述了输入 u（ t）引起状态 x（ t）的变化过程；输出方程则描述了由状态。