泰勒公式的若干问题研究_毕业论文(编辑修改稿)

泰勒公式的若干问题研究_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

x        ， 仿此可推得 20 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )21f x f x f x f x x x      () 001 ( ) ( ) ( )! nn nf x x x R xn ， 其中 ( 1 ) 101( ) ( ) ( )( 1 ) ! nnnR x f x xn ，  介于 0x 与 x 之间。 从整体推导过程可知，函数 ()fx在 0x 的某邻域内必须具有 1至 1n 阶导数才行。 这样就自然 地得到 拉格朗日 泰勒公式。 下面我们用一种不同的方法证明带有佩亚诺余项的泰勒公式。 证明 :设 ( ) ( ) ( )nnR x f x T x， 0( ) ( )nnQ x x x， 现在只需验证明0()lim 0()nxx nRxQx  函数 f 在点 0x 存在直到 n 阶导数，又知 ()20 0 00 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )1 ! 2 ! !n nn f x f x f xT x f x x x x x x x x xn           易知 ( ) ( )00( ) ( )kknf x T x ， k =0,1, n ，因为 ()0 0 0( ) ( ) ( ) 0nn n nR x R x R x  而 ( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0nn n nQ x Q x Q x   ， () 0( ) !nnQ x n 因为 ()0()nfx存在，所以在点 0x 的某邻域 0()Ux 内 f 存在 1n 阶导函数 ()fx，于是，济南大学毕业 论文 8 当 0()ox U x 且 0xx 时 ， 允 许 接 连 使 用 洛 必 达 法 则 1n 次 ， 得 到0 0 0( 1 )( 1 )( ) ( ) ( )l i m l i m l i m( ) ( )()nn n nnx x x x x xnnnR x R x R xQ x Q xQx   =0( 1 ) ( 1 ) ( )0 0 00( ) ( ) ( ) ( )l i m ( 1 ) 2 ( )n n nxxf x f x f x x xn n x x   =0( 1 ) ( 1 ) ()000( ) ( )1 l i m [ ( ) ]!nn nxxf x f x fxn x x  =0。 这就证明了带有佩亚诺余项的泰勒公式，当 0 0x 时可同理证明带有麦克劳林公式的泰勒公式。 济南大学毕业 论文 9 3 泰勒公式 的应用 第 2 部分我们给出了 泰勒公式 的几个基本 形式及 泰 勒公式的 证明 ，在此 基础上，我们 利 用泰勒公式来解决一些问题，这些问题 利用其他的方法往往比较困难，而 运用泰勒公式 可以使问题变得简单。 下面 我们研究 泰勒公式的应用 问题，主要 包括 在 计算行列式，利 用泰勒公式证明敛散性，判断函数的凹凸性 等方面的应用。 泰勒公式在 计算行列式 中 的应用 在代数学中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用泰勒公式法极为少 见，下面让我们从泰勒公式入手， 利用泰勒展开式计算行列式。 首先看一个具体的例子。 例 求 n 阶行列式 nDx y y yz x y yz z x yz z z x。 () (注 :此题可用代数知识的递推法以及数学归纳法求解，但非常繁琐，此题我们利用 泰勒公式求解，达到简便的作用。 其思路根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开 ) 解 ：我们把行列式 nD 看成 x 的函数，记 ()nfx= nD ，则 ()nfx在 xz 的泰勒展开式为 2( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! !n nnnn f z f z fzf x f z x z x z x zn       。 () 易知 0 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0z y yz y yz y yDz y yzy 1()kz z y 。 () 由 ()得， 1( ) ( )kkf z z z y ， k =1,2,… ,n 时 全 都成立。 () 根据行列式求导的规则，有 1( ) ( )nnf x nf x  ， 12( )( 1) ( )nnf x n f x  ， … ， 济南大学毕业 论文 10 21( ) 2 ( )f x f x  ， 1( ) 1fx  (因为 1()f x x )。 于是 ()nfx在 xz 处的各阶导数 (注意到公 式 ) 为 21( ) ( ) | ( ) ( ) nn x z nf z f x n f z n z z y     ， 31( ) ( ) | ( ) ( 1 ) ( ) nn x z nf z f x n f z n n z z y       ， … … … … ， 11 1( ) ( ) | ( 1 ) 2 ( ) ( 1 ) 2nnn n x zf z f x n n f z n n z     ， () ( ) ( 1) 2 1nnf z n n  。 把以上各导数代入 ()式中，有 1 2 3 2( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 !n n nn n n nf x z z y z z y x z z z y x z             1( 1 ) 2 ( 1 ) 2 1( ) ( )( 1 ) ! !nnn n n nz x z x znn     , 若 zy ，有  1( ) ( ) ( 1 )nnf x x y x n y   。 若 zy ， 有 ( ) ( )() nnn z x y y x zfx zy   。 以上我们就讨论了泰勒公式的 在 计算 行列式方面 的 应用，特别是 利 用泰勒公式求解行列式这一方法 在高等代数中没有介绍过，从而使行列式的求解又多了一种新方法，也为数学分析研究高等代数问题做了一个初步探索，以便为高等代数的教学起到促进作用。 接下来 我们 讨论 泰勒公式在 判别级数及 无穷积分 敛散性方面的应用。 泰勒公式 在 判别 敛散性方面 的应用 在级数敛散性理论中，要判定一个正项级数1 nn a是否收敛，通常找一个 参考 级数 ： p 级数11pn n( 0p )， 根据 p 级数的敛散性 来判定 级数1 nn a的敛散性。 在实际应用中较困难是如何选取恰当的11pn n( 0p 中的 p 值 )。 例如 (1) 若 2p ，此时211n n收敛，但2lim1nn an ； 济南大学毕业 论文 11 (2) 若 1p ，此时11n n收敛，但 lim1nn an0。 这里我们无法判定1 nn a的敛散性。 为了有效地选取11pn n中的 p 值，可以应用泰勒公式研究通项 0na (n )的阶，据此选取恰当的 p 值使 lim1nnpanl ，并且保证0 l  ，再由比较判定法 (极限形式 )就可判定1 nn a的敛散性， 下面举例说明之。 例 判定级数 11+1 ( 2)nnn aa  ( 0a )的敛散性。 解 : xa lnxae 2221 1 11 + ln ln ( )2x a a onn， 1na2221 1 1 11 + ln ln ( )2!a a on n n， 1na 2221 1 1 11 ln ln ( )2!a a on n n  ， 因此 11 22211( 2) l n ( )nnna a a a onn    ， 从而有0 221lim 1lnnaan ， 0na 是关于 (1n )的2 阶 .即 111 ( 2)nnn aa  与211n n同收敛。 通过这个例 子 我们 得到了利用 泰勒公式 可以 判断级数的敛散性， 下面 我们讨论 利用 泰勒公式 来 判断广义积分的敛散性 问题。 我们通过一个具体的例子来进行说明。 例 研究广义积分4( 3 3 2 )x x x d x     的敛散性。 解 : 22( 1 )(1 ) 1 ( )2!x x x o x      ， 112233( ) 3 3 2 ( 1 ) ( 1 ) 2f x x x x x xx           2 2 2 23 1 9 1 1 3 1 9 1 11 + ( ) 1 + ( ) 22 8 2 8x o ox x x x x x                   济南大学毕业 论文 12 33229 1 1()4 oxx   。 因此32( ) 9lim1 4nfxx ，即 ( ) 0fx 是 1()xx 。 通过 上面两个例子 我们讨论了 泰勒公式在敛散性方面的应用， 接下来 我们 讨论 泰勒公式在判断函数凹凸性方面的应用。 泰勒公式 在判断函数凹凸性的应用 例 若 ()fx二次可微，且 ( ) 0fx ，证明不等式 1111( ) ( )nniiiif x f x。 () 且等号成立当且仅当 12 nx x x ，并且由此证明当 0ix ( 1,2, ,in )时， 12 12n n nx x x x x xn   。 () 证明 : 令0 11niixxn  ， 0iix x h，则 0 ( 1, 2 , )iix x h i n   ，由泰勒公式得 : 200 1( ) ( ) ( ) ( )2i i i if x f x f x h f h  ， 0 ( 1, 2 , )i i ix h i n   2001 1 11 1 1( ) ( ) ( ) ( )2n n ni i i ii i if x f x f x h f hn n n         0()fx  211 ()2 n iii fhn   () 因为 ( ) 0fx  ，因此有011( ) ( ) ( )nniiiif x f x f x即 ()成立。