求函数极限的若干方法毕业设计论文(编辑修改稿)

求函数极限的若干方法毕业设计论文(编辑修改稿)内容摘要：

理 设 ),(),(),( yxgyxhyxf 在区域 D 有意义， ),( 00 yx 是 D 的内点或 边 界点，且 ),( yxg ),(),( yxhyxf  ， 若 Ayxhyxgyy xxyy xx   ),(lim),(lim 0000， 则 Ayxfyy xx  ),(lim 00． 本 章 给出了一元函数 、二元函数 极限的基本概念以及 相关定理 ，下 一章 将重点研究一元函数 、二元函数 极限 的 若干计算方法 ． 绥化学院 2020 届本科生毕业论文 6 第 2章 函数极限的计算方法 在这一章里将利用第一章 中 一元函数、二元函数极限 的相关定义及定理，研究 一元函数、二元函数极限的若干计算方法与技巧． 第 1 节 一元函数极限的计算方法 1． 1 利 用定义求函数的极限 例 1 证明 ：   422lim1  xx． 证  ＞ 0，   12422  xx ＜  成立 ， 解得 1x ＜ 2 ， 取 2 ， 于是存在 2 ，使得 当 0 ＜ 1x ＜  时 ,有   422 x ＜  ， 故   422lim1  xx ． 注：一般  的取值要依赖于  ，但它不是由  唯一确定的 ． 在上例 中还可以把  取的更小一些 ， 这取决于函数式放缩的程度 ． 例 2 证明 ：xlim xx xx 23 122  =31 ． 解析 这是一个关于自变量 x 趋向于无穷大的函数极限，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限 ． 证  233 653123 1 222  xxxx xx， 当 2x ， 5 6 0x ， 03323 22  xxxx ， 有      xxxxxx xxx xx 19519 15333 653123 1 2222   ， 0 ，取 1m ax 2,N  ，则 当 Nx 时，有 绥化学院 2020 届本科生毕业论文 7   xx xx 23 122 ， 故 xlim xx xx 23 122  =31 ． 利用定义法求函数极限时要注意： （ 1） 在上面的式子中运用了适当放大的方法 ， 这样求解比较简便 ． 但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的  来确定 N ， 同时要注意此题中的 N 不一定非要是整数，只要是正数即可 ； （ 2） 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律 ． 对于一般的函数而言，利 用定义法 来 求函数 的 极 限 通常 比 较麻烦， 但是， 对于分段函数 间断点处的极限 问题 最常用 的还是定义法 ． 对于这类问题， 通常 根据分段函数极限的定义，先求出函数在此间断点处的左右极限，若左右极限相等，则所求函数极限存在，否则，极限不存在 ． 例 3  0,c o s10,s in22xxxxx xxf ，求 xf 在 0x 时的极限 ． 解   2s i n2l i m000   xxfx，   221limc o s1lim00 22020    xxxxfxx，     20200  ff ， 故   2lim0  xfx ． 绥化学院 2020 届本科生毕业论文 8 例 4 讨论        1,1 1s in1,1 22xx xxx xxxf ，在点 1x 处的极限 ． 解  01f = 1 2lim 21  xxxx=   1 12lim1  xxxx=3，     11 1s inlim01 1    x xf x ，    0101  ff ， 故  xfx 1lim不存在 ． 对于未定式的极限问题最常用的是洛比达法则 ． 1． 2 用洛比达法则求未定式极限 例 5 求极限 x xxx23lim0． 解析 当 0x 时，分子趋向于 0，分母趋向于 0，这是一个 00 型极限，可直接用洛比达法则 ． 解 由洛比达法则， x xxx23lim0=03 ln 3 2 ln 2 3li m ln12xxx  ． 注：若使用了洛比达法则后，分子分母导数之比依然符合洛比达法则，则可继续使用洛比达法则，直到求出函数极限值为止 ． 例如： 616lim6 1lim3 1lim 0020   xxxxxx exex xe ． 例 6 求极限 xxx ln2lim0  0． 分析 用恒等变形，xxxx21lnln2  ，这是一个  型的极限，再用洛比达法则求解 ． 解 绥化学院 2020 届本科生毕业论文 9 0lim2 lnx xx    02lim112lim21lnlim0200 xxxxxxxx． 例 7 求极限 xx xsin0lim（ 0 ） ． 解析 0sin,0   xx ， 对 x 取对数，使函数变为 0 的形式，然后利用上题的方法求解 ． 解 xx xsin0lim=0limxsin lnxxe ， 其中 0limxsin lnxx0lnlim 1xxx 20 11limxxx  =   0lim0  xx， 故 xx xsin0lim =e0 =1． 在运用洛比达法则时，应该注意以下问题： ①洛比达法则中的求导是分别对分子和分母 同时 求导，而不是对整个式子的求导 ； ②倘若最后所得的极限不存在，并不代表函数无极限，可以换用其 它方法求函数极限 ； ③在运用时要注意洛比达法则所要 满足 的条件 ． 1． 3 用代换法求函数的极限 洛比达法则成功的解决了未定式极限的问题，但有时函数比较复杂，若使用洛比达法则较麻烦，这时可以将函数用其它形式的函数等价代换，化繁为简，这就是用代换法求极限 3 ． （ 1） 利用马克劳林公式求函数极限 马克劳林公式：                2 3 10 0 000 2 ! 3 ! !n nnf f ff x f f x x x x o xn        ． 绥化学院 2020 届本科生毕业论文 10 例 8 求极限  4420 s inc oslim2xxex xx ． 解 首先将下列初等函数化成马克劳林公式  24 5cos。