构造法在中学数学中的应用研究毕业论文(编辑修改稿)

构造法在中学数学中的应用研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

因为2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2y x y O A O C A C       22 2( 1 ) 1 2x y B D BD 固所给结论成立。 上述问题的变式很多，作者曾做到过很多类似的问题，如某市中考模拟卷中有如下一个问题： 变式 1：在 ABC 中， ,AB BC AC 三边的长为 10 5 1 、 ，求这个三角形的 积。 解析：用高中数学知识解答是能够完成 ，通过联立 2 2 2 2 c o sc a b ab c   ， 1 sin2S ab c 两个公式即可解决，但是计算起来相对复杂，况且是初中数学问题。 三角形是一个一般三角形，三边无规律性， 所以解决这类问题 ，可以通过增补的方法使之呈现规则的形式。 增补方式如 图 5 所示 ， 图 5 在日常解题过程中要注意对问题的归纳， 再 遇到一个新问题时 ，尤其是自己无从下手的问题，需要我们联想到一个类似的问题，最终将它转化成一个简单的图 4 CEDF OA B常熟理工学院毕业设计（论文） 7 问题。 其次要考虑它们的图像意义，能够将抽象的问题直观化。 上述两个例题主要分析了绝对值和根号问题解答过程中所应联想到的方法。 构造图像解数学问题是中学中每一位学生都必须掌握的，利用好图像工具不仅仅有利于问题的解决，更能增加学生的学习兴趣。 用构造法求解数列问题 数列是中学数学最为重要的内容，也是高考考查的重点和难点。 数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切。 数列中的递推思想，函数思想，分类讨论思想以 及数列求和，求通项等各种方法和技巧在中学数学中都有十分重要的地位。 解决数列问题，往往不可忽视构造法的应用，这也是数列的难点所在，很多数列问题题目较短，所给的文字信息有限，学生在做题时不容易找到突破口。 其实，解题的方向就在题目中所给的关系式，只需通过合适的关系变换就容易解决。 如数列求通项 例 5：已知数列 {}na 满足 114, 3 2nna a a   ， 求数列通项 na 解析：题目中只给出了 1na ， na 的关系，没有其他条件，解题的难点就在于如何转化关系式。 表面上看既不符合等差关系也不符合等比关系，但是如果将关系式 132nnaa构造成关系式 3( )nna d a d  。 就能直观的看出通项 {}nad 是等比数列，只需求出 d 即可。 完整过程如下： 例 5：已知数列 {}na 满足 114, 3 2nna a a   ， 求数列通项 na 解 : 132nnaa 构造如下关系式： 13( )nna d a d  ； 可 得 ： =1d11 31nnaa 即 ： 11 4 , 1 3 { 1 } 3 3na a a    ， 是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 即： 13nna  结论： 当题目中出现如关系式 11, ( , ,nna A a B a c A B C   均 为 常 数 ， 1B， 0)C 时 ， na可 用 构 造 等 比 数 列 的 方 法 求 数 列 的 通 项 公 式 ： 1 ()nna m B a m    ( ) , { }11nCCmaBB其 中 从 而 得 出 B是 以 为 公 比 的 等 比 数 列。 常熟理工学院毕业设计（论文） 8 上述数列的函数表达式是 (,nna pa q p q  其 中 是 常 数 ， 且 1,0 ），通过构造等比数列形式能够容易解出来。 但是遇到 ( ) ( 0 , 1nna pa f n p  其 中 是 常 数 ， 且 ）形式时， 又该如何做呢。 如： 例 6：已知数列 {}na 满足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n    求 na。 解析：这里与上 一 题明显的区别是后面的常数转换 成了关于 n 的一次函数。 用上述的构造方法做是行不通的。 如何使这种形式向这方面来转换，我们发现 na 与1na 的系数为 2 倍关系，能否将上述 11 212nna a n  转换成 112nnb b m形式。 例 6：已知数列 {}na 满足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n    求 na 解： 1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n      114 2 12nna n a n    即： 114 [ ( 4 ( 1 ) ] 32nna n a n     现令： 4nna n b 可得： 11 32nnbb 同上所得： 13 462n nan   结论：当诸如 遇到以上数列形式时，即： 1nna pa qn b  。 类比 1nna pa q，通过下述方法进行构造：1nna pa qn b   1[ ( 1 ) ]1 1 1nnq q aa n p a n bp p p       ， 再 令1nnqa n bp，从而实现形式的转换。 构造法在数列解题 中的应用非常广泛，不论在求通项方面还是在求和方面都有涉及。 构造法在解题过程中充当着中介的作用，使一些看似复杂，不符合常规方式的数列经过中介作用变成简单的等差或者等比数列。 还有许许多多的构造方法在此就不在一一论述，如：构造图形法解数列题：等差数列数列 {}na ，其中，1820, 15aa   ，问在哪项时 nS 最大。 （提示，等差数列的图像相当于一次函数的常熟理工学院毕业设计（论文） 9 图像） ； 构造倒数式：数列 {}na 中， nS 是前 n 项和，且 nS 0 ， 1 1a ， 已知 22 ( 2)2 1nn nSanS， 求 nS 与 na。 （提示：构造等式 1n n na S S  ， 与提干中的条件22 ( 2)2 1nn nSanS联立起来，可得： 112n n n nS S S S ，两边同除 1nnSS ，即可得出1{}nS是以 2 为公差的等差数列）等。 三角函数是中学数学的重要内容之一，其考察方式主要与代数，几何知识进行联系，它是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考察双基的重要内容。 应用三角函数方法解题技巧灵活，方式多样，同学不容 易掌握。 尤其是以下几种情况： ○ 1 常值代换，特别是“ 1”的代换，如： 221 sin cosxx ○ 2 特殊替代，尤其是含有“ ” 的情况，如 21 x ， 需要用 sinx 代替题目中的 x。 ○ 3 万能代换，利用所学的万能公 式。 在做三角函数题时，需要学生熟练掌握和，差，倍，半角的三角公式，利用锐角三角函数的定义，勾股定理，正弦定理，余弦定理等常用解题工具，能够认真分析和归纳题目要求，把握其中的方法和技巧，能通过恰当的变换，构造出相对简单和熟悉的三角结构出来，从而解决问题。 下面通过几个用构造三角函数法解数学问题的案例来进一步学习三角函数的应用。 一 ：常值构造法。 例 7：已知  1sin c o s , 0 , ,5     求 cot 的值。 解： 由 条件  1sin c o s , 0 , ,5      可得：  2 1s in c o s 25， 展开可得： 22 1sin 2 sin c o s c o s 25      因为 ： 22sin cos 1， 代换得： 常熟理工学院毕业设计（论文） 10 12sin cos 25 同理： 22sin co s 1 2=sin co s 2 5 ， 分子分母同除以 ： sin cos ， 可得： 1 1 2ta n co t 2 5 ， 因为：  0, ，所以最终可得： 3cot 4 例 8：求函数 s i n c o s s i n c o sy x x x x  的最大值和 最小值。 解：构造模型： s in c o s 2 s in ( )4x x x   t  22t   两边同平方： 22sin cosxx 2sin cosxx =2t 常值构造： 22sin cos 1xx 则：  2 1sin cos 2txx  可。