数值积分算法与matlab实现毕业论文设计(编辑修改稿)

数值积分算法与matlab实现毕业论文设计(编辑修改稿)内容摘要：

)bn nna x x x x x x dx h t t t t n hdt       由于 n 为偶数，不妨设 2nk ， k 为正整数，则  0,2tk ，于是 200( 1 ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )nkt t t t n hd t t t t k t k t k t k dt          再引进变换 u t k ，则 t u k， utdd ，  ,u k k ， 代入上式右侧 ， 得出 0 ( 1 ) ( 2 ) ( )n t t t t n d t   重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 9 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )k k u k u k u u u u k u k du        2 2 2 2 2( 1 ) ( ( 1 ) ) ( )k k u u u k u k du     最后的积分中被积函数是奇函数，所以积分结果等于零，定理 得证。 第 二 节 复化求积公式 前面导出的误差估计式表明 ，用牛顿 科特斯公式计算积分近似值时，步长越小，截断误差越小。 但缩小步长等于增加节点，亦即提高插值多项式的次数。 龙格现象表明，这样做并不一定能提高精度。 理论上已经证明，当 n时，牛顿 科特斯 公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值，而且随着 n的增大，牛顿 科特斯公式是不稳定的。 因此，实际中不 常用高阶牛顿 科特斯公式。 为了提高计算精度，可考虑对被积函数用分段低次多项式插值，由此导出复化求积公式。 一、 复化梯形求积公式 在实际应用中，若将积分区间分成若干个小区间，在各个小区间上采用低次的求积分式（梯形公式或 辛浦生 公式），然后再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化积分公式的基本思想。 以梯形面积近似曲边梯 形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。 这样求得近似值显然比用梯形公式计算精度高。 定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间的长度趋于零时，小梯形面积之和即就趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。 定义 [4] 将积分区间 [, ]ab 进行 N 等分，记 为 bah N , kx a kh 在每个小区间 1[ , ]kkxx ( 0,1, , 1)kN上用梯形公式求和，得 111 100( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2kkNNbxkkax kk hf x d x f x d x f x f x   若将所得的近似值记为 NT ， 整理得 重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 10 11( ) [ ( ) ( ) 2 ( ) ]2NbkNa khf x d x f a f b f x T    () 称 式 () 为 复化梯形公式。 记为 NT 当 N 时， 1011 [ ( ) ( ) ]2 NNN k kkkT f x h f x h   1 [ ( ) ( ) ] ( )2 b b ba a af x d x f x d x f x d x   即 NT 收敛于 ()ba f x dx 如果 (2)( ) [ , ]f x C a b ， 则在小区间 1[ , ]kkxx 上，梯形公式的截断误差为 1 31( ) [ ( ) ( ) ] ( )2 12kkx k k kxhhf x dx f x f x f       1( , )k k kxx  因此 3 10( ) ( ) ( )12NbT N ka khR f f x d x T f      因为 ()f  区间 [, ]ab 上连续，由介值定理知存在 [ , ]k ab  ，使得 101( ) ( )N kkffN   从而有 3 2()( ) ( ) ( ) ( )12 12bTNa h b aR f f x dx T Nf h f       () 这就是复化梯形公式的 截断误差。 下面讨论复化梯形公式的数值稳定性。 设计算函数值 ()kfx 时产生的误差为 ( 0,1, , )k kN  ，则用 式 () 计算结果的误差为    10 0012 m a x ( ) m a x2 NN k k kk N k Nkh n h b a               因此，无论 N 为多大，复化梯形公式都是稳定的。 重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 11 二 、 复化辛浦生求积公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用 Simpson 公式计算积分近似值，就可导出复化 Simpson 公式。 定义 [5] 将积分区间 [,]ab 分成 2Nm 等分，分点为 kx a kh ，( 0,1, , 1)kN bah N 在 每个小区间 2 2 2[ , ] ( 1 , 2 , , 1 )kkx x k N 上。 用Simpson 公式求积分，则有 2222 2 2 2 2 2 1 2( ) [ ( ) 4 ( ) ( ) ]6kkx kk k k kxxxf x d x f x f x f x    2 2 2 1 2[ ( ) 4 ( ) ( ) ]3 k k kh f x f x f x   求和得 2221( ) ( )kkmbxaxkf x d x f x d x   2 2 2 1 21 ( ) 4 ( ) ( )3mk k kk h f x f x f x   整理后得到 12 2 111( ) [ ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ]3mmbN k ka kkhS f x d x f a f b f x f x     () 式 () 就称为 复化 辛浦生求积 公式。 记为 NS 如果 (4)( ) [ , ]f x C a b ， 则由 Simpson 插值余项公式可得复化公式的截断误差为 12 2 111( ) ( ) [ ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ]3mmbS k ka kkhR f f x d x f a f b f x f x     5 ( 4 )1(2 ) ()2880mkh f  2 2 2[ , ]kkxx  因为 (4)()f  为连续，故存在 [ , ]ab , 使得 ( 4 ) ( 4 )11( ) ( )m kkffm  重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 12 代入上式得 5 ( 4 ) 4 ( 4 )1( 2 )( ) ( ) ( )2 8 8 0 1 8 0mSkh b aR f m f h f    ( , )ab () 式 () 表明，步长 越小，截断误差越小。 与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，当 2Nm  时，用复化 Simpson 公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。 三 、 复化科特斯求积公式 定义 将积分区间 [, ]ab 等分为 N 个子区间 4 4 4[ , ]kkxx ，每个子区间的中点 42kx ,( 0,1, , 1)kN， 子区间长度 bah N ， 在 每个 子 区间 上用 科特斯 公式求和 ，得 ()ba f x dx 4 3 4 211[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( )90NNkkkkh f a f x f x    14 1 4113 2 ( ) 1 4 ( ) 7 ( ) ]NNkkkkf x f x f bNC () 式 () 就称为 复化科特斯求积公式，记为 NC ，式中， bah N ， 4k hx a k ( 0 ,1, 2 , , 2 1)kN 类似地可以推出 复化科特斯公式的截断误差为 ( ) 6 ( 6 )4 2 ( )( ) ( ) ( )9 4 5 4N b a hR f f  ( ( , ))ab () 第 三 节 本章小结 本章 节 开篇 介绍了数值求积公式的构造， 主要是用运用插值多项式。 接着介绍了 几个低次的牛顿 科特斯求积公式 ，即梯形公式、辛浦生公式、科特斯公式，以及牛顿 科特斯求积公式的改进复化求积公式， 并对各个求积公式进行了相应的误差分析。 重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 13 第 二 章 高精度数值积分算法 复化求积 公式是 提高精 确 度 的一种 行之有效的 方法 ，但是在使用 复化型 求积公式之前必须先给出步长。 步长太大精度难以保证，步长太小则又会导致计算量 的 增加，而事先给出一个合适的步长往往是困难的。 在实际计算中常常采用变步长的计算方法，即在步长逐次减半的过程中，反复利用复化 求积公式进行计算， 并同时查看相继两次计算结果的误差是否达到要求， 直到所求得 的 积分值满足要求为止。 下面以梯形公式为例 第一节 梯形法的递推 在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律如下： 设 将 积 分 区 间  ,ab 分为 N 等 分 ， 则 一 共 有 1N 个等分点,k bax a kh h N  ， 0,1kN ，这里用 NT 表示复化梯形法求得的积分值，其下标 N 表示等分数。 由余项公式 () 可知，积分值为 2 1( ) ( )12N b a b aI T fN   1()ab 再将各子区间分半，使得区间成 2N 等分。 此时所得积分近似值记为 2NT ，则再由余 项公式 () 可知，积分值为 222( ) ( )1 2 2N b a b aI T fN   2()ab 假定 ()fx 在  ,ab 上变化不大，即 有 12( ) ( )ff  ，于是得 24NNITIT  ，左式也可以写成为 重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 14 2 2 2 211( ) ( )3 4 1N N N N N NI T T T T T T      () 这说明用 2NT 作为积分 I 的近似值时，其误差近似 为21()3 NNTT。 计算过程中常用 2()NNTT 是否满足作为控制计算精度的条件。 如果满足，则取 2NT 作为 I 的近似值；如果不满足，则再将区间分半，直到满足要求为止。 实际计算中的递推公式为  1 ( ) ( )2baT f a f b 2 11 ( ( 2 1 ) )2 2 2NNN jb a b aT T f a jNN   1( 2 , 1, 2 )kNk ( 在给定控制参数  后，当满足 2()NNTT 时，则以 2NT 作为积分 I 的近似值。 通过类似的推导，还可以得到下面的结论 对于辛浦生公式，假定 (4)()fx在  ,ab 上变化不大，则有 2 2 2 2211( ) ( )1 5 4 1N N N N N NI S S S S S S      () 对于科特斯公式，假定 (6)()fx在  ,ab 上变化不大， 则有 2 2 2 2311( ) ( )6 3 4 1N N N N N NI C C C C C C      () 第 二 节 龙贝格求积公式 梯形法的算法简单，单精度低，收敛的速度缓慢。 如何提高收敛速度以节省计算量，这是人们极为关心的课题。 由此引出了龙贝格公式。 由梯形的递推法可以看出，将积分区间等分时，用复化梯形公式计算的结果 2NT 作为积分 I 的近似值，其误差近似值为21()3 NNTT。 可以设想，如果用这个误差作为 2NT 的一种补偿，即将 重庆邮电大学本科 毕业设计（论文） 15 222 41 ( ) =3 4 1NNN N N TTT T T。