常微分方程中的变量代换法毕业论文(编辑修改稿)

常微分方程中的变量代换法毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

.C y y C   即可求得通解为：  2 ln .x y C y 其中 C为任意常数 . 原方程还有特解  例 5 求解微分方程 .x x ydye e edx 解 从现有形式我们看不出它是 y 的线性方程，我们可将它变形 e y dydx e y = ex . 若令 ,yze 则方程变成 .xdz zedx  （ ） （ ）的两边同乘 xe ,得   2 .xxd ze edx  积分得 7 21 .2xxze C e 于是，（ ）的通解为 1 .2xxz Ce e 所以，原方程的通解为 1 .2y x xe Ce e 其中 C为任意常数 . 伯努利（ Bernoulli）方程 形如     ndy p x y q x ydx  () 的方程称为伯努利方程 (Jakob Bernoulli， 16541705，瑞士数学家 )，其中    ,P x Q x 为x 的连续函数， n 为常数且 0n 和 : 方程两边同乘以  1,nny 得          11 1 1 ,nndyn y n y p x n q xdx     引入变量变换： 1 ,nzy 就有        1 1 ,dz n p x z n q xdx     这是关于未知函数 z 的一阶线性方程 .因而，方程 ()的通解可以写成            111 1,n p x d x n p x d xny e C n q x e d x      其中 C是任意常数，当 0n 时， 0y 也是伯努利方程的解， 例 6 求解微分方程 y xydx x 解 该方程是 3n 时的伯努利方程 .如果 0,y 则 326 .dyy y xdx x 令 2,zy 则 8 12 xdx x  故它是一阶线性方程，求得其通解为 1 2 1 2 212 12, 7d x d xxx Cz e C x e d x xx     其中 C是任意常数 .将其代会原变量，可得原方程的通解： 1221417 ,xy Cx  其中 C1(=7C)是任意常数 .原方程还有特解  例 7 求解微分方程 3 txdt x 解 初看上去，似乎无法着手，但若对调 t、 x的地位，就化为 3dx t xdt x 它是以 x 为自变量， t 为未知函数的线性方程，从而可求得 t 和 x 的关系式。 该方程又可写为 221 ,dt t xx dx x   即 2,dt xdx x 所以 31 ,3t Cxx  即 41 .3t Cx x 是原方程的通积分 . 黎卡提（ Riccati）方程 形如      2dy P x y Q x y R xdx    的方程叫做 黎卡 提（ Riccati） 方程 （ ,16761754）， 其中      ,P x Q x R x为区间 I 上的连续函数， 且 Px不恒等于 0，其右端函数是一个关于 y 二次多项式 .一般来说， 9 它不能用初等积分法来解出 . 若假设它的一个特解是 1 ,yx作变换  1 ,y z y x 则方程可化为以 z 为未知函数的伯努利方程         212,dz P x y x Q x z P x zdx   这是一个 2n 的伯努利方程，故可用初等积分法来求解。 定理： 设 Riccati 方程 2 ,mdy ay bxdx  其中 ,abm 都是常数，且 0,a 若 0, 0,xy则能用某一初等变换将上述方程化成变量分离方程的充要条件是  440 , 2 , , 1 , 2 , ,2 1 2 1kkmkkk    例 8 求 解微分方程 222 1 .x x xy e y ye e     解 将此方程变形为： 2 2 x x xy e y e y e e    这是一个 Riccati 方程 .根据方程的特点可观察出此方程有一个特解 令  1 ,y z y x ，则方程可变为 2 e z 该方程的通解是 1 .xz eC  从而，原方程的通解是 1 .xxyeeC 其中 C是任意常数 . 一阶隐式方程 前几节给出的一阶方程的几种解法，都是基于 dydx 可以明显解出而且可表示成 ,dy f x ydx  的形式，但对于一般形式  , , 0F x y y  中无法解出 dydx 或者解出 dydx 的表达式相当复杂的情况下，则难以用上述那些方法求解，而宜采用引进参数（变量代换）使之变为导数已解出的类型再求解，这里介绍两种类型，可以解出 y 或 x 的方程，即  ,y f x y 和 ,.x f y y 对于方程  ,y f x y () 10 其中 f u,v( ) 有连续偏导数 . 引进参数 yp ,则式 ()改为  ,y f x p ，两边对 x 求导数，并将 yp 代入，得到 .p f dppx p dx   这是一个关于 p 的一阶微分方程，且它的导数已解出 .于是可利用上面的方法求解 .假设其通解为  , , 0x p c  ，则原方程的通解为   , , 0,x p cy f x p  其中， p 为参数 ,c 为任意常数 . 例 9 求解方程 2 24 2 2 0 .d y d yx x yd x d x     解 从方程中可以看出解出 dydx 是有一定困难的，但易解出  2 242 .2y xy xy  令 yp , 上方程写为 2242 ,2p px xy  两边对 x 求导数，整理得 2 2 2 ,d p d pp p p x xd x d x    即  2 1 0 .dppx dx   由此可得 p x c  和 2 0,px其中 c 为任意常数，将上述两式分别与 2242 ,2p px xy  联立，得原方程的通解 22,42 ,2p x cp px xy    和特解 11 222 0 ,42 ,2pxp px xy  其中 ,p 为参数， c 为任意常数 . 类似地，对于方程  ,x f y y 同样令 ,yp 于是两边对 y 求导数，并以 yp 代入，得到 1 .f f dpp y p dy 这是关于 p的一阶微分方程，并且它的导数已经解出，于是可以用前面的方法求解，设其通解为  , , 0,x p c  即得原方程的参致形式通解为   , , 0,y p cx f y p  其中 ,p 为参数， c 为任意常数 . 例 10 求方程 0dydxdy exdx    的解 . 解 从方程中可看到解出 dydx 是相当困难的，但易解出 dydxdyxedx,引入参数 dy pdx ,则所求方程可改写成 px p e ,两边对 y 求导，并代入 1dxdy p,得到 1 ,pdp dpep dy dy 即   .pdy p pe dp 由此可得 2 .2 pppy pe e c    于是原方程的参数形式的通解为 2 ,2,ppppy pe e cx p e     12 其中 ,p 为参数， c 为任意常数 . (1) 不显含 y 或 x 的方程，即  ,0F x y  和  ,0F y y  . 对于方程  ,0F x y  ，令 yp ，则从几何观点看  ,0F x p  表示 xp 平面上的一条曲线，若能够把此曲线用适当参数表示成    ,x t y t 其中 ,t 为参数 .基于基本公式 dy pdx ，则有     ,dy t t dt 即     .y t t dt c 于是原方程的参数形式的通解为     ,xty t t dt c  其中 ,t 为参数 ,c 为任意常数 . 注意：此方法的关键在于把曲线写成适当的参数形式，易于积分 . 例 11 求方程 0dydxdy exdx    的解 . 解 此方程即为上面例题 10 中的方程，但它为（ 2）类型方程，它不显含未知函数 y ,令 yp ，则方程写成 0pp e x   ，于是方程可以写成参数形式 , px t ept   则  1 tdy pdx t e dt  ，计算   21 2t t tty t e dt te e c      ，因此原方程的参数形式的通解为 2,2pttx t ety te e c      其中 , t 为参数 ,c 为任意常数 . 类似地，对于不显含自变量 x 的方程，采用同样的处理方法，即对方程  , 0,F y y  令,yp 则方程改写成  , 0,F y p  此方程可以用适当的参数形式表示：    ,y t p t 基于基本公式 1 ,dx dyp则原方程的通解参数形式为 13    ,tx dt ctyt  其中 , t 为参数 ,c 为任意常数 . 注意： 方程  , 0,F y y  中只是不显含自变量 x ，而不是不含 x ，因此还要关注方程 ,0 0,Fy  是否有解 .若存在 yk ，满足  ,0 0Fk  ，则不难验证 yk 也是方程的解 . 例 12 求方程    22 12y y y  的解 . 解 方程中不显含自变量 x ，令 , 2 ,y p p yt  代入方程得。