对角化矩阵的应用本科毕业论文(编辑修改稿)

对角化矩阵的应用本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

1111342561T ,将矩阵 第 5 页 共 16 页 10030102001B , 记 321 32 BBB  ,则 ，32113211 32)32( AAATBBBTT BTA   其中 1 TTBA ii ,于是 222222111,134412163912,2566151841012321 AAA, 并且满足： (1) 321 32 AAAA  ； (2) EAAA  321 ； (3) )3,2,1(2  iAA ii ； (4) jiAA ji  ,0 . 可以通过一个比较具体的可对角化矩阵 ,很直观地反映上述所说的性质是成立的 . 矩阵对角化的方法 运用矩阵初等变换的方法 在数域 P 上 ,一个 n 维空间 V ,研究和探讨它能否可以找到 一组基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时 , 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题 ,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题 . 当发现矩阵 A 不能够实现对角化的时候 ,同样可以经过相近的一系列变换后，化简出矩阵 A ,并且能够判定它是否可以对角化 .类似地 ,可有矩阵 EQT ss 111111   ,做如下的初等变换 ,则可以将矩阵 A 化简为 对角形矩阵 B ,并且可以求得 T 或由 B 求A 的一系列特征值 . 求解齐次方程组的方法 设矩阵 A 是实对称矩阵 ,则求证交矩阵 T 使得 ),( 211 nd ia gATT   的问题 ,一般的解法为： (1)求其特征值； (2)求其对应的特征向量； (3)写 出矩阵 T 及 ),( 211 nd ia gATT   . 从而可以求出正交矩阵 T ,可以避免了商的繁琐运算 . 定理 ]7[5 设 A 是实对称矩阵 ,则有 )1(21 重， n , n ，， 321 对应于 第 6 页 共 16 页 21 ， ,记 )( 1L 由 1 生成的一个空间 ,且 )( 32 nL  ，， 由 n ，， 32 生成的空间 . 2 对角化矩阵的应用 求方阵的高次幂 例 2 设在数域 P 上，有一个二维的线性空间 V , 21 ， 是这个线性空间 V 的一组基 ,那么线性变换  在 21 ， 这组基的作用下的矩阵  01 12A,试通过上述给出的条件计算出矩阵 kA . 解 通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换  在线性空间 V 的另一组基 21 ， 作用下的矩阵 ,令       21 11, 2121  , 则           10 1121 1101 1211 1221 1101 1221 11 1 , 易知  10110 11 kk , 再运用上面得出的几个关系     10 1121 1101 1221 11 1 , 即         1111 1210121 1121 1110 1121 1101 12 1k kk kkkk. 反求矩阵 例 3 设有一个实对称矩阵 A ，且它的阶数为 3 阶，已知 11 321   ， ,1 对应于 TP )1,1,0(1  ,求解 A ． 第 7 页 共 16 页 解 根据矩阵 A 是 3 阶实对称矩阵的条件 ,我们可以推出矩阵 A 可以对角化的结论 ,即得出矩阵 A 是由三个线性无关的特征向量组成的结论 ,并且 132  对应于TXXXP ),( 321 ,因为它和 1P 正交 ,即 00 3211  XXXPP , 所以可以求出 TT PP )1,1,0()0,0,1( 32  ， ,它们分别对应 132  .取  100010001101101010),( 321 BPPPP ，, 则 BAPP 1 ,于是   01010000121210001212101000100011011010101P B PA . 判断矩阵是否相似 例 4 请判断下述三个矩阵是否会相似 300020102,300120012,300020002321 AAA. 解 我们可以很容易的得出三个矩阵 321 , AAA 的特征值分别都是 21 (二重 ), 32 ,其中矩阵 1A 已经是对角阵 ,所以我们只需要进一步判断两个 矩阵 32,AA是否都可以对角化 .通过 21 , 0)2( 2  XAE ,可以推出 T)0,0,1(1  ,因为 21 ,是一个二重的特征值 ,但是却只有一个特征向量与之 所对应 ,那么我们可以推出矩阵2A 与矩阵 1A 不相似的结论 .通过 21 , 0)2( 3  XAE ,得出 TT )0,1,0(,)0,0,1( 21   ,通过 32 ， 0)3( 3  XAE ,得出 T)1,0,1(3  ,通过上述所推出的结论，我们可知矩阵 3A 有三个线性无关的特征向量 ,即矩阵 3A 与矩阵 1A 这两个矩阵相似 . 求特殊矩阵的特征值 例 ]8[5 设有一个实对称矩阵 A ，并且它的阶数为 n 阶，满足 AA 22 , nrAr )( ,求出 A 的全部特征值． 解 假设  为矩阵 A 的一个特征值 ,而我们令  为矩阵 A 的特征向量 ,它对应于特征值  ，因为 A ,所以  22  AA ,又因为 AA 22 ,所以  222  AA ,即  22 ,由此我们可以推出 02或 ,根据矩阵 A 是实对称矩阵的这个条件 ,我们可以断定矩阵 A 一定能够进行对角化 ,即 第 8 页 共 16 页 0022~BA, 与 rAr )( ,所以 A 的秩数就是 2 的个数 ,以及 A 有 r 个 2 和 )( rn 个 0 的特征值 . 在向量空间中应用 例 ]9[6 在 n 维的 V 空间中 ,有一个复矩 阵，并且它的阶数为 n 阶，还有一个复数  , 令    0)(,)( 21   AEVWVAEW , 则矩阵 A 相似于对角阵 ,并且  021 WW . 证明 因为对于任意 一个 210 WWX  ,则有  )(0 AE。