基于小波变换的图像压缩方法研究毕业论文(编辑修改稿)

基于小波变换的图像压缩方法研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

1 2( , ) ( , )abf t t t t dt dt           1 2 1 21 2 , 1 2,1( , ) ( )ab t t b bf t t dt dtaa        （ ） 上式中 a0,其逆变换为 ： 31 2 1 2 , 1 2 1 21( , ) ( , , ) ( , )f a bf t t a w a b b t t d a d b d bC              （ ） , 1 2( , )abtt 是一个二维基本小波。 小波函数的选取不是任意的，通常 要求小波函数是归一化的 且 具有单位能量的解析函数 ,所以要满足以下的条件： （ 1） 在定义域的一个很小的区域之外，函数值要求全部为零，即定义域要求是紧支撑的，函数具有速降的特性。 （ 2） 平均值要为零，即 ( ) 0t dt ，而且 ()t 的高阶矩阵也要为零。 小波变换具有如下三条性质： （ 1）线性性质：若 ,( ) ( ) , ( ) ( )a b a bW f f t W g g t   且 ( ) ( ) ( )z t f t g t ，则 , , ,( ) ( ) ( )a b a b a bW z W f W g （ ） （ 2）位移定理 ：若 , ( ) ( )abW f f t 且 0( ) ( )z t f t t，则0,( ) ( )a b a b tW z aW f （ ） （ 3）频域表示：若 ( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ]f F f t F t    则12, 1( ) ( ) ( )2 jbabW f a f a e d      （ ） 3 第二代小波分析的基本理论 第一代小波的的重要特点就是利用特殊函数的伸缩和平移而得到。 而在复频域，伸缩与平移运算就变成了代数运算，因此第一代小波变换的很多性质是通过傅里叶变换来进行描述。 然而，在某些情况下伸缩与平移运算并不能解决问题，相反，很有可能会带来一些限制因素，此时就需要对信号进行延拓。 维姆（ Wim Sweldens）提出了一种具有更广泛意义的小波，该种不仅小波保留了第一代小波的优良性质，而且 不必通过对一个 特殊 函数 2()LR进行平移和伸缩 ,因此获得了具有更为广泛意义的性质。 第二代小波变换又称为提升小波变换。 提升 算法的基本方法 提升小波变换 （ 5） 的主要步骤可以分为三步：分裂、预测和提升。 有正向提升过程和逆向提升过程俩种方法。 （ 1） 正向提升方法的过程 : ○ 1 分裂过程：将原始数据集合 a0分解为不相交的俩个集合 a1， c1。 即： 0 1 1 1 1,a a c a c     （ ） 分解的方法有多种，比如将前一半的数据划分为 a1，后一半的数据作为 c1； 也可以将 偶数点划分到 a1，奇数点划分到 c1。 ○ 2 预测过程：用 a1中的数据来预测 c1中的数据，预测算子记作 P，用预测值与真实值的 差 来替代原来的 c1，即： 1 1 1()c c P a （ ） 预测形成新的 c1。 ○ 3 提升过程：用 c1中的数据来提升 a1中的数据，提升算子记作 S，则： 1 1 1()a a S c （ ） 与预测过程一样用新的提升值来代替原来的提升值 a1。 其原理可如图所示： 图 提升格式示意图 （ 2）逆向提升方法的基本过程： 逆向提升方法其实是一个还原过程，即由 a1和 c1来还原 a0。 步骤为： ○ 1 提升过程：用 c1中的数据来提升 a1中的数据，提升算子记作 S，则： 1 1 1()a a S c ○ 2 预测过程：用 a1中的数据来预测 c1中的数据，预测算子记作 P，即： 1 1 1()c c P a ○ 3 还原过程：将 a1中的数据和 c1中的数据合并为 a0，即 : 0 1 1a a c Lazy 提升 在原始数据集中 0 0,{ | }ka a k z， 因为对于多数信号而言其局部数据是相关的，因此，相邻的样本点比较远的样本点更为相似，因此可以按照下标 k的奇、偶性进行索引抽样。 第一部分 :分裂过程： 1 , 0, 2 1 , 0, 2 1,k k k ka a c a k Z   第二部分 :预测过程 ：假设奇样本点的 值是 相邻的俩个偶样本点的平均值，即：1 , 1 , 1 , 1 , 11 ()2k k k kc c a a   。 此时构建预测算子 P的模型是分段线性函数，其间隔为 2，假如原始信号与此模型相吻合，则 1c 的所有系数为 0，若果不符合，则 1c 是原始信号的高频部分， 1c 中元素称为小波系数。 第三部分：提升过程：假如用相邻的小波系数提升，则1 , 1 , 1 , 1 , 1()k k k ka a A c c   。 计算 A可按照能量保持原则， 即： 1 , 0 , 2 1 , 0 , 2 0 , 2 12 ( 1 2 ) 2k k k k kk k ka a A c A a A a       ，如果期望1, 0,12kkkkaa， 则 A=14。 这种按照下标 k的奇、偶性进行索引抽样称为 Lazy 抽样， 1c 称为 Lazy 小波。 提升算法的基本过程 第一代小波变换分解成提升小波变换可由如下三步组成： ○ 1 Lazy 小波 : (0)1,1 0,21SS。 (0)1,1 0,21 1ds。 ○ 2 级连的提升与 对偶提升过程： ( ) 1 ( ) ( 1 )1,1 1,1 1,1i i i ikkkd d p s ( ) ( 1 ) ( ) ( )1,1 1,1 1,1i i i ikkks s u d  上表 i 表示第 i 级提升， () (),iikkpu为提升计算使用的系数，假设级联一共有 M级。 ○ 3 比例计算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1/,MMs s k d d k 反变换是 正向变换 按照 相反的次序分别进行的逆运算。 具体过程为： ○ 1 比例计算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1,/MMs ks d d k； ○ 2 级连的提升与对偶提升反变换过程： 1 ( ) ( ) ( 1 )1,1 1,1 1,1i i i ikkkd d p s ( 1 ) ( ) ( ) ( )1,1 1,1 1,1i i i ikkks s u d ； ○ 3 反 Lazy 变换： ( 0 ) ( 0 )0 ,2 1 1,1 0 ,2 1 1 1,1,s s s d； 通过上述的分析我们可知，提升变换与第一代小波变换相比有较为明显的特点： 一 同址计算。 不需要辅助存储器，原图像可被小波变换的结果所覆盖。 二 更快的小波变换。 传统的快速小波变换是把信号分解成高通部分与低通部分，并在这种情况下进行抽样，然后对低通部分重复上述 过程 ，直 到所需级数。 三 不需要借助傅里叶分析就可以获得逆变换的结果。 只要稍微调整正变换中的正负号就可以实现。 下面是 在 Daubechies 9/7 小波提升算法下的实验结果。 （ 1）原图。