基于多目标规划的创意平板折叠桌设计数学建模论文(编辑修改稿)

基于多目标规划的创意平板折叠桌设计数学建模论文(编辑修改稿)内容摘要：

l 为表示平板长度的一半。 线段 GN 长度为 ( ) si nGNd y x  ，线段 AC 的长度为 sinACdy ，要使折叠桌折叠后稳固性好 就应满足以下条件： max0GNACdrdr (17) 目标函数的确定： 1．坚固性 14 我们在桌脚点 A 分析其受力情况，如图所示当在桌上放重物时，桌脚受竖直向下的力为 F,同时地面会对桌脚产生大小相同、方向相反的支持力。 则力矩的大小为： sinM Fx  (18) 力矩越小，坚固性越好；力矩越大，坚固性越差。 因此，坚固性好的可以转化为以力矩最小为目标的函数，即： m in sinM Fx  (19) 2．稳定性 当 GN 的长度越短时 KG越长，此时桌子的固定性越好；当 AB的长度越长，桌子的稳定性越好。 当  增大时， KG 和 AB 都相应增大。 当两者之和最大的时候折叠桌的稳定性最好。 即可以将稳定性好的目标转化为 AB 和 KG 长度之和最大的目标： max KG ABdd (20) 其中   11sinsinKGABd r y x yd y r y       最终可得到稳固性好的单目标规划模型： 决策变量 ：钢筋固定位置到木条底端位置的长度 x 、固定钢筋的桌腿长度 y ； 目标函 数 ： m ax KG ABd d M 1112m in s inm a xK G A BM F x fd d f  将  1 1 1 1 1 1 2 1 2 1| ( ) , ( )R x f x f f x f    作为 2p 的可行域。 （ 2） 用材最少的单目标规划模型 决策变量的确定： 折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌的平板尺寸，然而这些设计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以 钢筋固定位置到木条底端位置的长度 x 、固定钢筋的 桌腿长度 y 为决策变量。 约束条件的确定： 15 平板两条边上固定钢筋的木条在折叠过程中与地面形成等腰梯形，如图 5 所示。 G点为固定钢筋的位置， A 点为桌脚位置。 令 AG 的长度为 x ，桌腿的长度为 y ， u 为桌面圆上最外侧木条的长度，桌面圆半径为 r ， w 为木板宽度（假定宽度一定），则有： 2222wur (21) 设 h 为折叠桌高度，桌腿木条的倾斜角为  ， 且 0 2。 y 的取值范围为： 22sinyhyhy    (22) 目标函数的确定： 要达到用材最少的目标，即可转化为所用平板的面积最小，即：  min 2y u w (23) 最终可得以用材最少为目标的单目标规划模型 决策变量 ：钢筋固定位置到木条底端位置的长度 x 、固定钢筋的桌腿长度 y ； 目标函数 ：  min 2y u w 约束条件 ：   2m in 2 y u w f ，将  2 2 2|R x f f 作为 3p 的可行域。 （ 3） 加工方便的单目标规划模型 决策变量的确定 折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌木条的开槽长度，然而这些设计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以 钢筋固定位置到木条底端 位置的长度 x 、固定钢筋的桌腿长度 y 为决策变量。 约束条件的确定 桌腿木条的开槽长度始终小于桌腿木条的长度，同时也要满足 (1)中 y 得取值范围，即满足公式 (20)。 16 目标函数的确定 要使加工方便，可以考虑木条的开槽长度为整数，且每根木条的开槽长度在上图中可看做是：  JG JD y x   (24) 最终可以得到加工方便为目标函数的单目标规划模型： 决策变量 ：钢筋固定位置到木条底端位置的长度 x 、固定钢筋的桌腿长度 y ； 目标函数：  JG JD y x   约束条件：  12212 2 2 2s i n..|r x xyhr x xystyhx R x f f        (25) （ 4）产品设计的多目标规划模型： 决策变量： 钢筋固定位置到木条底端位置的长度 x 、固定钢筋的桌腿长度 y 目标函数：   123m axm in 2K G ABp d d Mp y u wp JG JD y x   (26) 此时的 1 2 3,p p p 是进过多目标规划的分层序列法对目标按其重要程度的一个排序，最重要， 2p 次之， 3p 最后。 约束条件：  122112 2 2 2s i n..|r x xyhr x xys t pyhx R x f f        17  222221 11 1 1 12 12 122.. si n| ( ) , ( )wuryhs t pyyhx R x f x f f x f             m a x3m a x0..0GNACGNACdrdrs t pdrdr     简化模型： 本题通过对创意平板折叠桌的设计满足商家（用材最少）、用户（稳固性好）、加工者（加工方便）的要求， 根据全文假设 2 和在实际优化模型中，将三者要求确定为目标函数，达到简化优化模型的目的，使得计算 该模型更为简单。 我们将商家要求（用材最少）简化为平板尺寸的确定，再根 据问 题二的假设 2，平板尺寸的确定就是计算平板长度。 用户要求（稳固性好）简化为钢筋位置的取定。 加工者要求（加工方便）简化为开槽长度的加工，此时开槽长度我们认为整数长度或者统一长度即使满足加工者要求。 而简化用户要求时发现任意给定折叠桌着力点是为四只着地桌脚，因此我们对稳固性分析时将对折叠桌受力看做最外端四只着地桌脚， 如下图 8 所示。 又由于圆的对称性，我们可以简化为只研究一只桌脚。 18 图表 8 桌腿木条的受力简化图 计算思想： 通过简化模型，将实际问题转化为优化模型，对目 标函数进行求解。 计算步骤： Step 1：以模型准备中的坐标轴建立最终状态的坐标轴即折叠桌状态，易得圆桌每根木条 x 轴的坐标点，根据圆的标准方程求得圆桌上每根木条的长度 u ，以及钢槽初始位置 f。 Step 2：对优化模型的目标函数求解，约束条件为 ,pq的取值范围，求得 ,pq的值。 即着地桌腿长度和钢槽位置分别用表示。 Step 3：由 Step 2 中着地桌腿长度和钢槽位置数据求得开槽长度。 对于桌高 70cm，桌面直径为 80cm的情况下，经过 matlab 计算，运行环境见附录 1，程序见附录 4，取整数据结果如下 ： 表格 2 最优参数设计 着地桌腿长度（ cm） 钢槽位置（ cm） 平板长度（ cm） 80 51 173 求出着地桌腿长度为 80cm 时，钢槽的最佳位置为在距离桌脚 51cm 处，说明在着地桌腿的中间偏 上位置折叠桌的稳固性更好。 其折叠立体图 ，程序见附录 5： 表格 3 66根木条的开槽长度 (cm) 开槽长度m(1)m(66) 0 6 9 11 14 16 18 19 21 22 23 24 25 25 26 26 26 26 26 25 25 24 23 22 21 19 18 16 14 11 9 6 2 2 6 9 11 14 16 18 19 21 22 23 24 25 25 26 26 26 26 26 25 25 24 23 22 21 19 18 16 14 11 9 6 2 19 图表 9 优化后的动态过程 (左 )最优参数的折叠桌 (右 ) 误差分析： 由于希望满足加工者方便，将对开槽长度取整，因此会产生一段误差使得中间部分开槽有些许偏差，对此我们进行误差分析。 但根据统计误差在 以上的仅 12 个，对整体影响不大，却能明显减少加工者的工作量，因此我们认为该误差合理。 折叠桌设计软件的数学优化模型的确定 ——问题三 根据客户任意设定的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状可以得出桌高和桌面宽度的确定值，以及桌脚边缘线的平面表达式，经过分析这些条件的变动，其影响稳定性的目标函数和木条开槽长度取整的目标函数的程度很小，此时忽略不计，只影响平板面积，所以将桌脚边缘线的平面表达式积分可以确定平板面积，再根据问题 2 所建的模型带入客户所给的参考量，即可确定最优设计参数。 客户任意设定的折叠桌的平板面积确定 （ 1）设定任意桌面边缘线的的形状大小的 空间参数方程为 ( , , ) 0f x y z  (27) （ 2）设定任意桌脚边缘线的大致形状的空间参数方程为 ( , , ) 0g x y z  (28) （ 3）根据桌面边缘上的任意一点可以确定与之对应的桌脚边缘线上的一点，并且可以计算出两点的距离 fgd ，令 hx为桌角边缘线的平面表达式为  f(y) hfgdx (29) 20 （ 4）对平面的桌脚边缘线方程 hx进行积分，  ba h xdx就表示由曲线  y h x ,x a x b与 x 轴所成的曲边梯形 的面积，故平板面积可以表示为  S2ba h x dx  (30) 因此可以得到折叠桌最优平板面积的单目标模型 决策变量 ：桌脚边缘线的平面表达式 hx， 2s 表示为桌面的宽度（桌面宽度可由桌面边缘线的形状大小求得） 目标函数：  S2ba h x dx  (31) 约束条件： s x s   (32) 根据分析，客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状线的大小和桌脚边缘线的大致形状都不会影响稳定性的目标函数和木条开槽的目标函数，只是将变量高度 h 和木板宽度通过客户人为确定，将其带入问题 2 所建立的多目标规划模型中求解确定最优设计加工参数。 根据上面的软件设计基于客户需求的最优参数的折叠桌优化 模型，我们提供了折叠桌的高度为 70h CM ,桌脚边缘线为空间参数方程 3 3 3( , , ) 0g x y z  (33) 桌面边缘线的形状为椭圆，大小为长轴 2 60a CM ,短轴 2 50b CM ,这里以短轴为桌面直径，其中椭圆的表达式为 22 1 ( 0)xy abab    (34) 将这些条件带入上述模型，我们可以得到 21  222121232231 232 2 23 1 3 1 3 1 10( ) ( ) ( )by b xxx zazby b xaa x ax x y y z z y h x          (35) 因此桌脚边缘线的平面表达式就为 hx，将其带入客户任意设定的折叠桌的平板面积确定模型中，对其进行积分，得到所需材料的平板材料的形状尺寸：  S2ba h x dx  (36) 简化模型： 经过前面两个问题的探讨，我们可以将折叠桌模型简化成为三个数学关系式空间上的共同呈现，分别为 桌面边缘空间关系式 ， 钢筋位置空间关系式 （即是折叠桌高度或木条与垂直方向夹角的关系），还有 桌脚边缘线的空间关系式。 算法思想： 通过桌面边缘方程计算坐标 y值和勾。