基于matlab的谱估计实现毕业设计论文(编辑修改稿)

基于matlab的谱估计实现毕业设计论文(编辑修改稿)内容摘要：

机过程 {}nX 的均值或数学期望定义为 [ ] (。 )nx n Xm E X x f x n dx  若 ()g 是单值函数，则 {}ngX 构成一个新的离散时间随机过程，其均值可定义为 [ { } ] ( ) (。 )nXE g X g x f x n dx  均值有下列性质： （ 1） [ ] [ ] [ ]n m n mE X Y E X E Y  ，即和的均值等于均值的和。 （ 2） [ ] [ ]nnE aX aE X ，即 nX 乘以一个常数 a 的均值等于 nX 的均值乘以此常数。 基于 MATLAB 的谱估计实现 3 （ 3） 若 [ ] [ ] [ ]n m n mE X Y E X E Y ，则称 nX 与 mY 是统计独立的。 离散时间随机过程的均方值定义为 2 2 2[ ] (。 )nX n XE X x f x n d x  离散时间随机过程的 方差定义为 22[ ] [ ( ) ]nnX n n XD X E X m    由于和的均值等于均值的和，所以容易证明上式可写成 2 2 2 2 2[ ] [ ]n n nX n n X XE X E X m    2nX 为非负函数，其平方根称作离散时间随机过程的标准差或均方差，即 2 []nnX X nDX 一般来说，均值，均方值，方差都是 n 的函数，但对平稳离散随机过程来说，它们与 n 无关，都是常数，即 []Xnm E X 22[]XnEX  22[( ) ]X n XE X m  离散时间随机过程的自相关函数定义为 121 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) [ ] ( ,。 , )X n n XR n n E X X x x f x x n n dx dx        离散随机过程的功率谱密度 离散随机过程功率谱密度定义 设 []Xn为宽平稳离散时间随机过程，或 简称为宽平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为 ( ) { [ ] [ ] }XR m E X nT X nT m T 基于 MATLAB 的谱估计实现 4 或简写为 ( ) { [ ] [ ] }XR m E X n X n m (21) 当 ()XRm满足 ()Xm Rm 的条件时，我们定义 []Xn的功率谱密度为 ()XRm的 离散傅里叶变换，并记为 ()XG  ( ) ( ) jm TXXmG R m e     式中， T 是随机序列相邻各值的时间间隔。 随机过程功率谱密度的性质 1， 功率谱密度为非负的。 2， 功率谱密度是  的实函数。 3， 对于实随机过程来说，功率谱密度是  的偶函数。 4，功率谱密度可积。 功率谱 密度与自相关函数的关系 可以证明，平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成傅里叶变换对，即 ( ) ( ) jXXG R e d     以及 1( ) ( )2 jXXR G e d      这一关系就是著名的维纳 —— 辛钦定理。 它给出了平稳随机过程的时域特性与频域特性之间的联系，它是分析随机信号的一个最重要，最基本的公式。 估计量的评价标准 无偏性 设 12, , , nX X X… 是总体 X 的一个样本。  是包含在总体 X 的分布中的待估参数，这里  是  的取值范围。 无偏性的描述如下 基于 MATLAB 的谱估计实现 5 若估计量 12ˆ ˆ( , , , )nX X X … 的数学期望 ˆ[]E 存在，且对于任意  有 ˆ[]E 则称 ˆ 是  的无偏估计量。 可以证明，样本均值（也就是总体的一阶矩）是总体均值的无偏估计量，样本方差是总体方差的无偏估计量。 有效性 设 1 1 1 2ˆ ˆ ( , , , )nX X X …与 2 2 1 2ˆ ˆ ( , , , )nX X X …都是  的无偏估计量，若对于任意 ，有 12ˆ ˆ[ ] [ ]DD 且至少对于某一个  上式中的不等号成立，则称 1ˆ 较 2ˆ 有效。 相合性 无偏性和有效性都是在样本容量 n 固定的前提下提出的。 我们自然希望随着样本容量的增大，一个估计量的值稳定于待估参数的真值。 这样，对估计量 又有下述相合性的要求。 设 12ˆ ˆ( , , , )nX X X … 为参数  的估计量，若对于任意  ，当 n 时12ˆ( , , , )nX X X … 依概率收敛于  ，则称 ˆ 是  的 相合估计量。 即，若对于任意  都满足：对于任意 0 ，有 ˆlim { } 1n P       则称 ˆ 是  的相合估计量。 可以证明，样本 ( 1)kk 阶矩是总体 X 的 k 阶矩的相合估计量。 相合性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量 n 取得多么大，都不能将  估计得足够准确，这样的估计量是不可取的。 3 经典谱估计及其仿真 经典谱估计方法分为两种： BT法和周期图法。 下面逐一阐述。 周期图 周期图的定义 对于一个离散随机过程，由公式 (21)，以及样本的一阶矩就是对总体期望的无基于 MATLAB 的谱估计实现 6 偏估计可得： 101ˆ [ ] [ ] [ ]NmXnR m X n X n mN (31) 其中 N 是信号的采样点数， ˆ[]XRm是对此离散时间随机过程自相关函数的估计量。 定义矩形窗函数如下 1, 0 1[] 0, nNdn     其 他 则式 (31)可写成 1ˆ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]XnR m d n X n d n m X n mN     令 [ ] [ ] [ ]d n X n Y n ，上式 可简写为 11ˆ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]X nR m Y n Y n m Y m Y mNN       即 ˆ[]XRm可看成是 []Ym与 []Ym 的卷积。 而 []Ym的傅里叶变换 10[ ] [ ] [ ] [ ] ( )Nj m j m j m jNm m mY m e d m X m e X m e X e                    ()jNXe 是有限长序列 []Xn的傅里叶变换，显然 ()jNXe 是周期性的。 当 []Xn为实序列时， []Yn也为实序列，根据傅里叶变换的性质， []Ym 的傅里叶变换为 ()jNXe。 根据功率谱密度与自相关函数的关系，功率谱估计为自相关函数估计的傅里叶变换，即 211ˆ ( ) ( ) ( ) ( )j j jX N N NG X e X e X eNN    直接将 ()jNXe 模的平方除以 N 求得的功率谱估计的方法称为周期图法，其结果用 ()NI  表示，即 21ˆ ( ) ( ) ( )jX N NG I X eN  (32) 周期图法是利用数据的傅里叶变换直接求得的，而不再计算自相关函数，所以又称 直接法。 由于序列的傅里叶变化可利用 FFT 计算而提高运算效率，这是周期图法基于 MATLAB 的谱估计实现 7 的主要优点。 周期图的性能 为了了解周期图法的谱估计效果，我们来讨论它的估计均值和方差。 211[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]j j jN N N NE I E X e E X e X eNN    11001 [ ( ) ( ) ]NNj n j knkE X n e X k eN   1 [ [ ] [ ] [ ] [ ] ]j n j knkE d n X n e d k X k eN           ()1 [ [ ] [ ] [ ] [ ] ]j k nnkE d n d k X n X k eN           令 m k n 代入上式得 1[ ( ) ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] ] jmNmnE I d n d n m E X n X n m eN             [ ] [ ] jmNXm b m R m e    （ 33） 式中 1[ ] [ ] [ ]Nnb m d n d n mN  1 , 10,m mNN     其 他 由于 []Nbm为两个矩形 窗 函数的卷积，因此它是一个三角窗函数，其傅里叶变换为 22 s in11 2( ) [ ]s in 2jnNnNB d n eNN      基于 MATLAB 的谱估计实现 8 式 (33)为两个函数乘积的傅里叶变换，等于他们各自傅里叶变换的卷积，即 [ ( ) ] ( ) ( )N N XE I B G   由 上式 可知，除非 ()NB  是一个冲激函数，否则 [ ( )]NEI 将不等于 ()XG  ，故周期图作为功率谱的估计是有偏差的。 当 N 时 lim [ ] lim 1 1NNN mbm N       故 lim ( ) ( )NN B     此时 l i m [ ( ) ] ( )NXN E I G  (34) 因此，周期图作为功率谱估计，当 N 时是无偏的，即渐近无偏。 下面讨论谱估计的方差。 为分析简单起见，通常假设 []Xn零均值，方差为 2X 的实高斯白噪声序列，即功率谱密度为常数 2X。 按方差的定义应有 22v a r [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]N N NI E I E I   由于假设 []Xn零均值，方差为 2X 的实高斯白噪声序列，根据式 (34)可知，当N 时， 2[ ( )] ( )N X XE I G  。 为了求 2[ ( )]NEI ，先求 ()NI  在两个频率 1 和 2 处的协方差，最后令 12  。 根据式 (32)可得 122212 21[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjN N N NE I I E X e X eN    21 [ ] [ ] [ ] [ ]N N N Nn k p q R n R k R p R qN 。