基于matlab的数字滤波器的优化设计(编辑修改稿)

基于matlab的数字滤波器的优化设计(编辑修改稿)内容摘要：

数对于观测信号起到一种滤波器的作用。 对于离散时间信号，设 x (nT)、 y(nT)、 w(nT) (n=0， 1， … ， NI)的离散傅立叶变换 (DFT)分别为 X(k)、 Y(k)、 W(k)(k=0， 1， … ， N1)，则可得到 （ ） 式中， T 为采样周期。 对于连续时间信号，设 x(t)、 y(t)、 w(t)的傅立叶 变换分别为 、 、 ，则 （ ） 13 窗函数的种类 已经知道有很多种类函数，这里仅介绍几种代表性的窗函数。 下面介绍几种代表性的窗函数： 如 R= {n︱ n=0,1，．，．， N1），以及 R39。 ={n︱ n0， nN）等。 另外，还介绍 N为奇数时， 仅将信号 序列平移 (N1)/2，并设： 时的窗函数。 式中 T 为采样周期。 1) 矩形窗 (rectangular window) () () () () 14 图 矩形窗的幅频特性 2) 汉明窗 (Hamming window) () () () () 3) 汉恩窗 (hann window) () () 15 () () 4) 布莱克曼窗 (Blackman window) () () () () 5) 道尔夫一切比雪夫窗 (DolphChebyshev window) 反复利用下式进行计算，就可以确定道尔夫 — 切比雪夫窗的系数 （ ） （ ） 16 () () () 式中，设 N 为奇数，则 M=（ N1） /2。 及 分别表示 M 阶切比雪夫多项式。 并且  可用下式表示： （ ） 式（ ）的  是为使主瓣幅度为矩形窗的  倍，即为 4 π/（ 2M+1）而引入的参数。 当旁瓣 的最大值固定时，道尔夫 切比雪夫可使主瓣幅度为最小。 另外，该 函数的特点是所有的旁瓣振幅都相等。 设计实验结果 采用矩形窗设计一个 FIR 数字低通滤波器。 该滤波器的通带截止频率 4 C ，单位脉冲响应 h(n)的长度 M= 500。 M=500。 wc=pi/4。 n=0:M1。 r=floor((M1)/2)。 nr=nr+eps*((nr)==0)。 hdn=sin(wc*nr)/pi./nr。 if rem(M,2)~=0 hdn(r+1)=wc/pi。 end wn1=boxcar(M)。 hn1=hdn.*wn139。 17 subplot(2,1,1)。 stem(n,hn1,39。 .39。 )。 line([0,20],[0,0])。 xlabel(39。 n39。 ),ylabel(39。 h(n)39。 ),title(39。 矩形窗设计的 h(n)39。 )。 %hw1=fft(hn1,512)。 w1=2*[0:511]/512。 %subplot(2,1,2), plot(w1,20*log10(abs(hw1))) [hw1,w]=freqz(hn1,1)。 subplot(2,1,2), plot(w/pi,20*log10(abs(hw1)))。 axis([0,10,10])。 xlabel(39。 w/pi39。 ), ylabel(39。 幅度 (dB)39。 )。 title(39。 幅度特性 (dB)39。 )。 图 M=500时幅度和幅度特性 N=21。 M=1024。 b=fir1(N,boxcar(N+1))。 h=freqz(b,1,M)。 t=0:21。 subplot(211)。 stem(t,b,39。 .39。 )。 18 hold on。 plot(t,zeros(1,22))。 grid。 f=0::。 M1=M/4。 subplot(212)。 plot(f,abs(h))。 grid。 图 M=1024时幅度和幅频特性 FIR 滤波器的均方误差最小准则设计 为利用式 ()和式 ()设计线性相位 FIR 滤波器，当 N 为奇数时，定义 () 当 N 为偶数时，定义 （ ） 下面说明当 hk = ， k=0,1,2…N 1 成立时的设计过程。 当然， k=0,1,2… ， N1 成立时，设计过程也是完全相同的。 19 假定所希望达到的幅频特性为 ，加权函数为 ，如将评价函数写成： （ ） 通过以下过程可以求出 为最小时的优化系数。 当 N 为奇数时，令 当 N 为偶数时，令 则 () 式中 ， T 为转置。 进一步令 则 如果对称矩阵为正则矩阵，求解 （ ） 即可求得优化系数。 另外，对区间 0≤ ≤π 进行适当分割，如果着眼于 (k=0,1,…,N 1)的离散点，则可以用 代替评价函数 ，并用 （ ） 20 式中， K 应选择足够大的数。 现在用 表示将 代入时的 c 值 ，并设 则可得到 （ ） 因而，因而，如果对称矩阵 A 是正则矩阵，则可得到与式相同形式的一次联立方程，求解该方程即可得到优化解。 评价函数中使用了加权函数，考虑到实际计算，希望在不同区段应为不同的 常数。 例如，设低通滤波器的过渡带为 假如过渡带的特性是任意的，则可取 ， ，。 该方法同样适用于评价函数。 FIR 滤波器的最大误差最小化准则设计 下面我们来讨论使通带及阻带的波纹最大值为最小的最 大 误差最小化评 价 准则设计线性相位 FIR 滤波器的有关问题。 设理想幅频特性为 ,权函数为 ，误差函数为 则评价函数为 （ ） 式中， 与式（ ）或式（ ）中所使用的函数相同。 另外，设不需做幅频特性的过渡带中 ，用  表示需对幅频特性作评价的通带。 当通带的允许波纹为 ，阻带的允许波纹为 时，设通带的加权为 1，阻带的加权为 ，则可使用通带和阻带即在 中 、且允许波纹 时的设计方法。 交错点组原理：设 X 为区间 ba， 上任意闭合子集，对于在 X 上给出的连续 21 函数 的最大误差最小化评价条件下，如果一般化的多项式 P（ x）是 f（ x）的最优近似： 也就是使误差函数振幅的最大值 为最小的优化近似。 优化近似的充要条件是当误差函数为 e(x)=f(x)P(x) 时， P(x)在 f(x)上至少存在 n+1 个交错点。 由于函数系 （ k=0,1， … M）满足哈尔条件，所以可用交错点原理求得优化解。 式中，当 N 为奇数时，取 M=（ N1） /2,N 为偶数时取 M=（ N2）/2。 要利用交错点组原理决定 H（  ） ,就必须求出式（ ）误差函数的绝对值为最大时的 M+2 个  值，  = （ i=0,1， … ， M+1）。 假定这些 可以给出最大误差最小化解，取误差函数的振幅为 Q ，即可得 到 （ ） 首先考虑 N 为奇数时的情况，此时 M=（ N1） /2，取： 改写式（ ）即可得到下面的一次联立方程： （ ） 再考虑到函数系 （ k=0,1， … ， M）满足哈尔条件，从式（ ）就可以唯一地决定 （ k=0,1， … ， M）以及 Q 值。 当 （ i=0,1， … ， M+1）给出最大误差最小化解的优化解时，则式（ ）成立，但是如果它们不是优化解时，就没必要求解式（ ）以得到 （ k=0,1， … ， 22 M）。 因而，只需用式（ ）求 Q 值，即可得到 （ ） （ ） 另外，当 N 为偶数时，此时 M=（ N2） /2,如果取： 则有 （ ） 这种情况下，不需要求解式（ ），只需求解式（ ）的一次联立方程即可。 将是（ ）与式（ ）比较可知，用 代替了。 但与 N 为奇数时完全一致， N 为偶数时也是从式（ ）求式（ ）的 Q 值，可由式（ ）给出。 通过以上方法求得 Q 值后，即可求得 （ ） FIR 滤波器的优化设计 最优化设计是指采用最优化准则来设计的方法。 在 FIR 数字滤波器的最优 化设计中，最优化准则有均方误差最小化 准则和等波纹切比雪夫逼近（也称最 大误差最小化）准则两种。 实际设计中，只有采用窗函数法中的矩形窗才能满 足前一种最优化准则，但由于吉布斯效应的存在，使其根本不能满足设计的要 求。 为了满足设计的要求，可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应，但此时 的设计已经不能满足该最优化准则了。 因此，要完成 FIR 数字滤波器的最优化 设计，只能采用后一种准则来实现。 给出 M+2 个 （ i=0,1， … ， M+1）和 Q 时，利用式（ ）即可决定 23 （ i=0,1， … ， M）。 因而利用拉格朗日插值公式可以求得 （ 0≤ ≤π）。 同时又有可能利用这个插值曲线来研究 （ 0≤ ≤π）的极大值与极小值。 如果误差函数满足 ，。 也就是说，在指定的（ i=0,1， … ， M+1）点上， ，但在指定的  点之外的 点上，存在 的点。 Remez 交换算法，就是利用插值曲线的极值，重新选定使 增加的（ i=0,1， … ， M+1）点。 这种操作过程可一直延续到 不再改变，最终逼近最大误差最小化解，从而求得等波纹滤波器。 可以形成极值的点，就 是 的符号发生改变的地方，荡然它包括极点，也包括端点。 利用这种方法，如果选定给出 极值的 M+2 个点，即，（ i=0,1， … ， M+1）的点，从该极值就能决定波纹的大小。 基于等波纹切比雪夫逼近准则的 FIR 数字滤波器的优化设计步骤： 给出所需的频率响应 ，加权函数 以及滤波器的单位抽样响应h(n)的长度 N。 由（ 1）中给定的参数来形成所需的 ， W 表达式。 根据 Remez 算法，求解逼近问题。 根据求得的 P(w)表达式，利用傅里叶逆变换计算出单位抽样响应 h(n)的表达式即可获解。 利用数字信号处理工具中的 remezord 和。