基于matlab的数值计算中的优化技术_毕业论文(编辑修改稿)

基于matlab的数值计算中的优化技术_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

值余项公式可得复化公式的截断误差为 51 ( 4 )2 2 11 1 1 ( 2 )( ) ( ) [ ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ] ( )3 2 8 8 0m m mbS k ka k k khhR f f x d x f a f b f x f x f            2 2 2[ , ]kkxx  复化科特斯求积公式 定义 将积分区间 [, ]ab 等分为 N 个子区间 4 4 4[ , ]kkxx ，每个子区间的中点42kx , ( 0,1, , 1)kN，子区间长度 bah N ， 在 每个 子 区间 上用 科特斯 公式求和 ，得 ()ba f x dx 4 3 4 211[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( )90NNkkkkh f a f x f x    14 1 4113 2 ( ) 1 4 ( ) 7 ( ) ]NNkkkkf x f x f b   式   就称为 复化科特斯求积公式 ，式中 bah N ， 4k hx a k ( 0 ,1, 2 , , 2 1)kN 类似地可以推出复化科特斯公式的截断误差为 ( ) 6 ( 6 )4 2 ( )( ) ( ) ( )9 4 5 4N b a hR f f  ( ( , ))ab 高精度数值积分算法 求积分时，复化积分公式 采用逐步分段法， 是一种比较有效的方法，但是它也存在许多的弊端， 它收敛于 积分真值的速度缓慢， 从而人们在复化求积分公式上进行改进。 在求积分时步长的大小 也会影响到积分的效果，步长太长积分值就不会太精确，步长太短则会增加许多的运算量。 运算的时间也会随之增加。 在计算器中编程计算结果 要花费大量的时间。 以下采用变步长的计算方法，从而避免了这一点。 8 龙贝格求积公式 梯形法的算法简单，单精度低，收敛的速度缓慢。 由此引出了龙贝格公式。 由梯形的递推法可以看出，将积分区间等分时，用复化梯形公式计算的结果 2NT 作为积分 I的近似值，其误差近似值为21()3 NNTT。 可以设想，如果用这个误差作为 2NT 的一种补偿，即将 222 41 ( ) =3 4 1NNN N N TTT T T   作为积分的近似值，可望提高其精确度。 直接根据复化求积公式，不难验证 222 41 ()3 4 1NNN N N N TTS T T T      () 这说明，将区间对分前后两次复化梯形公 式的值，作线性组合恰好等于复化辛浦生公式的值 NS ，它比 2NT 更接近于近似值。 同样，用 2NS 于 NS 作线性组合会得到比 2NS 更精确的值，且通过直接验证可得 2 222 241 ()15 4 1NNN N N N SSC S S S      () 用 2NC 与 NC 作线性组合，又可得到比 2NC 更精确的值，通常记为 NR ,即 3 222 341 ()63 4 1NNN N N N CCR C C C      () 式 () 就称为 龙贝格求积公式。 上述用若干个积分近似值推 算出更为精确的积分近似值的方法，称为外推方法。 我们将序列 NT , NS  NC 和  NR 分别称为梯形序列、辛浦生序列、科特斯序列和龙贝格序列。 由龙贝格序列当然还可以继续进行外推，得到新的求积序列。 在积分区间逐次分半的过程中，利用外推法算式将粗糙近似值 nT 逐步加工成越来越精确的近似 值 ,n n nS C R。 也就是说，将收敛速度缓慢的梯形序列 2{}kT逐步加工成 9 收敛速度越来越快的序列2 2 2{ },{ },{ }k k kS C R。 根据这种原理设计的计算积分近似值的方法称为龙贝格积分方法，又称为数值积分逐次分半加速收敛法。 利用龙贝格序列求积的算法称为龙贝格算法。 这种算法 具有占用内存少、精确度高的优点。 因此，成为实际中常用的求积方法。 在优化技术方面的考虑龙贝格方法 比 较合适的选择，在第四章会用程序进行讨论 说明。 10 第三章 线性方程组的求解 上一章讲述了有关于优化技术在数值积分计算方法的应用，为了更加体现优化技术的应用本章将会讨论优化技术在线性方程组中的应用。 实际中，存在大量的解线性方程组的问题。 很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的 M 和 m 关系式，曲线拟合的法方程，方程组的 Newton 迭代等问题。 求解线性方程组有很多的方法，如 gauss 消去法，按比例主元消去法，用 Cholesky分解解线性方程组 ，平方根法和追赶法等等。 一般地设 n 阶线性方程组为 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2................nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b            表示成矩阵形式 Ax b 其中  1 1 1 2 12 1 2 2 212..............nnij nnn n n na a aa a aAaa a a ， 12...nxxxx，12...nbbbb A 为系数矩阵 高斯消元法是按照 消元和回代两个过程。 高斯消元法的改进为高斯主元消元法，并且主元消元法主要有列主元，按 比例主元和全主元。 高斯消元法的基本思想： 首先将 A 化为上三角阵，再回代求解 11 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211 得( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 12 13 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 23 2 2( 3 ) ( 3 ) ( 3 )33 3 3( ) ( )0000 0 0nnnnnnn na a a a ba a a ba a bab 第二步 niiaa i ,3,2 )2(22)2(2  行第行第 )2()2()2(2)2(2)2(2)2(2211121100nnnnnnbaabaabaaa 得 )3()3()3(3)3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(221113121100000nnnnnnnbaabaabaaabaaaa 类似下去我们有 第 k 步 nkiiaakkkkik ,1,k)()(  行第行第 n－ 1 步以后，我们可以得到变换后的 矩阵为： )()()3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(2211131211000000nnnnnnnnbabaabaaabaaaa 从此再回代可以 解出线性方程组的解。 但是高斯解线性方程组一般都是针对中小型的，一下介绍几种线性方程组的迭代法，从而求解线性方程组的近似解，利用优化技术判断哪个方法最优。 线性方程组的迭代法 Jacobi 迭代法 设 n 阶线性方程组的系数 ()ij n nAa 非奇异（ nonsigular），且 0( 1, 2, , )ija i n。 将 方程组改为 12 1 1 2 2 1 3 3 1 1112 2 1 1 2 3 3 2 2221 1 2 2 , 11( ) ,1( ) ,1( ) .nnnnn n n n n n nnnx a x a x a x bax a x a x a x bax a x a x a x ba                () 任取 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )12( , , , )Tnx x x x ，将各分量代入上式的右边得 ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 1 2 2 1 3 3 1 111( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2 2 1 1 2 3 3 2 222( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 1 2 2 , 1 11( ) ,1( ) ,1( ) .nnnnn n n n n n nnnx a x a x a x bax a x a x a x bax a x a x a x ba                () 将 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )12( , , , )Tnx x x x 代入上式的右边，得 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2 1 3 3 1 111( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 1 1 2 3 3 2 222( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2 , 1 11( ) ,1( ) ,1( ) .nnnnn n n n n n nnnx a x a x x bax a x a x a x bax a x a x a x ba              () 以此类推，可得。