基于matlab的复摆混沌行为研究毕业论文(编辑修改稿)

基于matlab的复摆混沌行为研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

象学家 Edward Lorenz 从旋转的木桶实验 [21]，总结出包括12 个方程的方程组，建立了一个仿真的气象模型，他认为尽管气象变化万千，但总是遵循经典的物理定律，只要知道一定的初始条件，那么利用这些方程总是可以把结果算出来的。 这就是说按照传统的确定性理论，他就可以确定将来的气象变化的规律和任何时间的气象状态。 这里需要说明的是，一般传统的科学家都认为，任何量的测量和获得都不可能是完全精确的，都有一定的近似，所以在进行计算的时候一般都采用一定的近似。 因为他们认为，极小的影响和变化、差别是可以忽略不计的，事物运动之中都具有 一定的收敛性，极小的差别不会引起大的影响。 Lorenz 在利用计算机进行计算的时候，一次，为了省时，他就把上次计算打印结果当作初始值输人了，然而，当他一小时以后回来的时候突然发现其结果却偏差极大。 开始他以为是计算机出了问题，后来经过仔细的研究，发现是由于初始值的微小差别导致其结果的极大偏差。 因为那时候的计算机还很简单，存储只是 6 位，但是打印出来的只是 3 位，例如输入 0. 532020，只能打印出来 ，当时他认为这是极小差别，不会引起大的变化。 但他的方程对这些微小的不同却是极其敏感的，他把这种现象叫作“ 蝴蝶效应”。 意思就是：巴西的蝴蝶抖动一下翅膀，就可能在德克萨斯引起一场风暴。 蝴蝶效应说明了初始条件的重要性，也说明了科学的严谨。 任何随意的8 忽略，都可能导致严重的后果。 也正由此导致后来“混沌”理论的诞生。 167。 用 Matlab 演示混沌的基本性质 在自然界中，绝大部分运动都是混沌运动，规则运动只在局部的范围和较短的时间内存在。 从简单的数学游戏入手，我们了解了混沌运动的产生，通过对“蝴蝶效应”的介绍，我们了解了混沌运动的主要特征及性质。 在各种软件中， Matlab 是非常适合混沌的演示和仿真实验的。 本节将对 如何使用Matlab 来演示混沌运动特征及性质进行研究。 167。 用 Matlab 产生标准的混沌信号 1963 年，美国气象学家洛伦兹在《大气科学杂志》上发表了著名的论文《确定性的非周期流》，文中指出：三阶非线性自治系统中可能会出现混沌解[12]。 洛伦兹提出了一个简化的天气预报模型，这就是著名的洛伦兹方程组： ()()x a y xy b z x yz xy cz   (21) 这个简化模型是一个完全确定的方程组。 然而，当方程组的三个参数取某些值时 (比较常用的是 a =10,b =28,c =8/3)，方程组出现了混沌解。 这是在耗散系统中，一个确定的方程能导出混沌解的第一个实例，它标志着混沌学的涎生。 在 Matlab 中，可以用如下程序 产生洛沦兹信号，在对混沌信号的演示和处理中，洛沦兹信号是最常用到的标准混沌信号。 混沌系统存在混沌吸引子，洛沦兹吸引子就是著名的蝶形图。 如图 21 所示。 (1)洛伦兹函数程序： function dy=lorenz(t,y) dy=zeros(3,1)。 dy(1)=10*(y(1)+y(2))。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)。 dy(3)=y(1)*y(2)8*y(3)/3。 (2)给定参数作图程序： [t,y]=ode45(39。 lorenz39。 ,[0 30],[12,2,9])。 9 plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) view([20,42])。 图 21 洛沦兹信号的吸引子 167。 倍周期分岔 —— 通向混沌 之路 倍周期分岔是许多非线性动力学过程中常见的现象，也是进人混沌的一种重要方式 [ 12]。 可以用描述虫日模型的 Logistic 方程来演示一个动力学系统是如何通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的。 Logistic 差分方程为 1 (1 )n n nX X X ，初值 0X 的取值范围为 (0,1)，  的取值范围为 [1,4]。 由 Logistic 方程描述的系统的最终状态取决于  值，  在由1 变化到 4 的过程中，该系统通过不断的倍周期分岔从规则运动进人混沌。 可以用下面的程序来演示这一过程： x(1)=。 %迭代初值 hold on。 %将计算结果显示在同一幅图上 for lamda=2:: % 的取值范围和步长 for i=1:10000 x(i+1)=lamda*x(i)*(1x(i))。 %Logistic 方程 if (i+1)9800 %舍弃不稳定的初始值 plot(lamda,x(i+1))。 end 10 end end 程序的运行结果如图 22： 由图 22 可以看出在  3 时，由 Logistic 方程所确定的系统处于定态，系统状态变量为一常量。 在  3 以后，系统开始进入周期状态，开始周期为2，随着  值的变大，不断发生倍周期分岔。 并且，倍周期分岔发生的越来越快，周期越来 越大，最终进入了周期无限长的混沌状态。 图 22 倍周期分岔 我们可以接着用下面的程序来演示取不同值时， Logistic 方程所确定系统状态的演化过程。 lamda=3. 3。 %设定入值 x(1)=。 %迭代初值 for i=1:50 %设定迭代次数 x( i+l )=lamda*x(i)*(1x(i) )。 end plot(x) %显示计算结果 11 (a) (b) (c) 图 23 取不同  值时，系统的演化过程 系统状态的演化过程如图 23(a),(b),(c)三幅图对应的  值分别为 ,和。 在  值为 时，系统经过开始的振荡后收敛于一定值。 而当  值为12 时，系统经过开始的不稳定阶段后，趋于稳定的振荡，在两个定位之间来回跳越，进人了周期为 2 的轨道。 在  为 时，系统已进人混沌状态，不再有稳定的周期。 我们还可以取更 多的  值，以演示该系统周期变为 16„„的倍周期过程。 167。 初值敏感性 描述混沌动力系统的微分方程、差分方程或迭代方程都是确定性方程，没有概率性的因素。 从数学上讲，确定性方程对于确定的初始值，由动力系统就可以推知系统的长期行为甚至追溯过去。 但是，在混沌动力系统中，如果精确地从同一点出发，得到的仍是同一条确定的轨道。 然而，只要初始条件有无论多么微小的改变，其后的运动轨迹就会失之毫厘，差之千里。 因此，混沌系统具有极强的初值敏感性。 从现象上看，这 种过程好像是随机的。 这种“假随机性”与方程中有反映外界干扰的随机项或随机系数而引起的随机性不同，是确定性系统内部所固有的内在随机性。 混沌信号的最重要、最显著的个特点就是初值敏感性。 图 24 两条取不同初值的 洛沦兹信号 轨迹 我们可以用程序 所产生的洛沦兹信号来演示初值敏感性。 将程序 中的初始值 x 先后设为 [10]和 []， y 和 z 不变，这两组初始值只有 x 有极小的差值。 由于要演示初值敏感性，还需要将由两组初始值计算出来的任一轴上的两条轨迹放在一起显示。 源程序如下： 13 [t,y]=ode45(39。 lorenz39。 ,[0 15],[10,2,9])。 plot(t,y(:,1),39。 k39。 )。 hold on [t,y1]=ode45(39。 lorenz39。 ,[0 15],[,2,9])。 plot(t,y1(:,1),39。 :k39。 )。 由图 24 可以看出，两条曲线在开始一段看上去还是重合的，但是到了8 点以后，两条几乎由同一点出发的曲线开始逐步分离了，这就是混沌信号初值敏感性的体现。 167。 本章小结 本章从简单的数学游戏入手，给我们说明了混沌运动的产生，并结合对“蝴蝶效应”的介绍 ，使我们了解了混沌运动的主要特征及性质。 在各种软件中， Matlab 是非常适合混沌的演示和仿真实验的。 本章用 Matlab 来演示研究混沌运动特征及性质。 本章给出了用 Matlab 进行混沌演示的一些基本程序，包括产生标准的混沌信号及其吸引子，演示非线性系统进入混沌的途径，以及混沌的初值敏感性。 许多非线性动力学系统都是通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的，系统如果处于混沌运动状态，那么它以后的运动状态将敏感依赖初值，并且具有不可预测性 [ 10]。 通过这些演示，可以使我们对混沌有了比较直观的认识。 第三章 用 Matlab 模拟复摆振动中的混沌行为 14 复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。 实际上，当复摆在驱动力矩及阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周期分岔逐渐进入到混沌运动状态 [7]。 混沌运动是确定性非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。 如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机模拟出 来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。 167。 复摆运动模型与振动方程 对如图 1 所示的圆形复摆，设其质量为 m ；对转轴 O 的转动惯量为 I ；质心 C 到转轴 O的距离为 h。 如果复摆振动时受到的阻尼力矩是 ddt ；周期性驱动力矩为 cosFt。 图 31 复摆结构 复摆运动遵守刚体转动定律： 22dM J J dt。