基于lms_算法的多麦克风降噪课程设计任务书(编辑修改稿)

基于lms_算法的多麦克风降噪课程设计任务书(编辑修改稿)内容摘要：

a）开环算法 (b)闭环算法 图 31 自适应滤波器的组成 自适应算 法主要根据滤波器输入统计特性进行处理。 它可能还与滤波器输出和其他参数有关。 根据自适应算法是否与滤波器输出有关，可以将其分为开环算法和闭环算法两类。 开 环 算法的控制输出仅取决于滤波器的输入和某些其他数据，但是不取决于滤波器的输出，如图 31（ a）所示。 闭环算法的控制输出则是滤波器输入、滤波器输出以及某些其他输入的函数，如图 31（ b）所示。 闭环算法利用了输出反馈，它不但能在滤波器输入变化时保持最佳的输出，而且还能在某种程度上补偿滤波器元件参数的变化和误差以及运算误差。 它的缺点是存在稳定性问武汉理工大学《 信息处理课群综合训练与设计 》课程设计 7 题以及收敛速度不高。 开环算法的优点是调整速度快，一般不存在稳定性问题。 但是通常要求的计算量大且不能补偿元件参数误差及运算误差。 因此，多数采用闭环算法。 基本自适应滤波器 设计原则 自适应滤波器通常由两部分构成，其一是滤波子系统，根据它所要处理的功能而往往有不同的结构形式。 另一是自适应算法部分，用来调整滤波子系统结构的参数，或滤波系数。 在自适应调整滤波系数的过程中，有不同的准则和算法。 自适应滤波器含有两个过程，即自适应过程和滤波过程。 前一过程的基本目标是调节滤波系数 )(kwi ，使得有意义的目标函数或代价函数 (.) 最小化，滤波器输出信号 )(ky 逐步逼近所期望的参考信号 )(kd ，由两者之间的误差信号 )(ke 驱动某种算法对滤波系数进行调整，使得滤波器处于最佳工作状态以实现滤波过程。 所以自适应过程是一个闭合的反馈环，算法决定了这个闭合环路的自适应过程所需 要的时间。 但是，由于目标函数 (.) 是输入信号 )(kx ,参考信号 )(kd 及输出信号 )(ky 的函数，即 (.) [x (k ) , d (k ) , y (k )]  （ 31） 因此目标函数必须具有以下两个性质： 非负性 y( k)d( k) ,x( k) , 0 y( k) ]d( k) ,[ x( k) ,( . )   （ 32） 最佳性 d ( k )y ( k ) , 0 y ( k ) ]d ( k ) ,[ x( k ) ,( . )  w h e n （ 33） 在自适应过程中，自适应算法逐步使目标函数 (.) 最小化，最终使 )(ky 逼近于 )(kd ，滤波参数或权系数 )(kwi 收敛于 optw ，这里 optw 是自适应滤波系数的最优解即维纳解。 因此，自适应过程也是自适应滤波器的最佳线性估计的过程，既要估计滤波器能实现期望信号)(kd 的整个过程，又要估计滤波权系数以进行有利于主要 目标方向的调整。 这些估计过程是以连续的时变形式进行的，这就是自适应滤波器需要有的自适应收敛过程。 如何缩短自适应收敛过程所需要的收敛时间，这个与算法和结构有关的问题 是 人们一直重视研究的问题之一。 自适应滤波器结构 武汉理工大学《 信息处理课群综合训练与设计 》课程设计 8 自适应滤波器 利用前一时刻的结果，自动调节当前时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的特性，得到有效的输出，主要由参数可调的 数字滤波器和自适应算法两部分组成，如图 32 所示 图 32 自适应滤波器原理图 x(n)称为输入信号， y(n)称为输出信号， d(n)称为期望信号或者训练信号， e(n)为误差僖号，其中， e(n)=d(n)y(n).自适应滤波器的系数 (权值 )根据误差信号 e(n)，通过一定的自适应算法不断的进行改变，以达到使输出信号 y(n)最 接近期望信号 图中参数可调的数字滤波器和自适应算法组成自适应滤波器。 自适应滤波算法是滤波器系数权值更新的控制算法，根据输入信号与期望信号以及它们之间 的误差信号，自适应滤波算法依据算法准则对滤波器的系数权值进行更新，使其能够使滤波器的输出趋向于期望信号。 4 基于自适应滤波的信号增强 基本维纳滤波器 基本维纳滤波就是用来解决从噪声中提取信号问题的一种滤波方法。 它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数 )(zH 或单位样本响应 )(kh 的形式给出的，因此更常称这种系统为最佳线性过滤器或滤波器。 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应 )(kh 或传递函数 )(zH 的表达式，其实质是解维纳 霍夫(WienerHopf)方程。 武汉理工大学《 信息处理课群综合训练与设计 》课程设计 9 如图 41 所示，有两个信号 x(k)和 y(k)同时加在滤波器上。 典型地 y(k)包含一个与 x(k)相关地分量和另一个与 x(k)不相关地分量。 维纳滤波器则产生 y(k)中与 x(k)相关分量地最优估计，再从 y(k)中减去它就得到 e(k)。 图 41 基本维纳滤波器 假定一个 N 个系数（权值）的 FIR 滤波器的结构，维纳滤波和原始信号 y(k)之间的差信号 e(k)为：    10 )(Ni ikkkTkkkk xiwyxwynye （ 41） 其中 kx 和 w 分别为输入信号矢量和权矢量，由下式 )1(1Nkkkkxxxx )1()1()0(Nwwww （ 42） 误差平方为： wxxwwxyye TkkTTkkkk  222 （ 43） 对 上 式两边取期 望得到均方误差 (MSE)，若输入 x(k)与输出 y(k)是联合平稳的，则： RPwxxwEwxyEyEeETTTkkTTkkkk2][][2][][222 （ 44） 武汉理工大学《 信息处理课群综合训练与设计 》课程设计 10 其中 E 代表期望， 22 ][ kyE 是 )(ky 的方差， ][ kkxyEP 是长度为 N 的 互相关矢量，][ Tk kxxER 是 NN 的自相关矩阵。 一个 MSE 滤波系数的图形是碗形地，且只有唯一地底部，这个图称 为性能曲面，它是非负的。 性能曲面 的 梯度可由下式给出： RwPdwd 22   （ 45） 图 42 基本维纳滤波器 每组系数 w(i)(i=1,2,…N 1)对应曲面是一点，在曲面 矢 地最小点梯度为 0，滤波权矢量达到最优 optw ， PRwopt 1 （ 46） 即著名的维纳 —霍夫曼方程的解。 自适应滤波 的 任务是采用合适的算法来调节滤波权重 1)(Nw,(1 ),w(0 ),w iii ，从而找到性能曲面地最优点 optw。 维纳滤波的实际用途有限，若信号为非平稳的，则 R 和 P 是时变的 ， 必需重复计算 optw。 对于实际的应用需要能够依次加入抽样点而得到 optw 的算法。 自适应算法就是用于达到这个目的，而且不需显式计算 R 和 P 或进行矩阵求逆。 最陡下 降法 最陡下降法构成了不少算法，是 LMS 算法的基础。 均方误差性能函数为 ： WRWrwndE xxTxdT  2)]([ 2 （ 47） 武汉理工大学《 信息处理课群综合训练与设计 》课程设计 11 对 W求梯度为： xdxxW rWR 22   （ 48） 由式 ()可见，均方误差  是权系数 1w ， … ， Mw 的二次函数。 当权矢量 optWW 时， 达到最小值 min ，几何上这相当于超抛物面的 “碗底。 在一般情况，滤波器在迭代过程中或当输入过程统计特性发生变化时，权矢量 W 并不正好等 于 最佳值 optW 上。 为了减小误差，一个显然的方法是找出该工作点处使均方误差  减小速率最大的方向，亦即梯度 W 的负方向，然后令权矢量 W(n)沿着梯度的负方向修正。 换句话说，如果在第 n次迭代上权矢量取为 )(nW ，则第 n+1 次迭代时，加权系数 )1( nW 应取为 :  WnWnW  )()1( （ 49） 其中 W 为  的梯度，而  为常数并称为步长因子或收敛因子。 W 的表达式为 ： ]2)(2[)()1( xdxx rnWRnWnW   （ 410） 或 ： xdxx rnWRInW  2)()2()1(  （ 411） LMS 算法 为了采取最陡下降法，需要知道均方误差性能函数的梯度的精 度值，这就要求输入信号 )(nX 和需要信号 )(nd 平稳且其二阶统计 特 性为已知。 这时可以根据输入信号 )(nX 和需要信号 )(nd 的采样值估计 xxR 和 xdr ，从而采用最陡下降法寻求 optW。 但当上述条件不具备时，我们只能把随机的平方误差 )(2ne 当成是均方误差 )]([ 2 neE。 对前者进行求梯度的运算，所得到的结果就取为关于后者的真实梯度 W 的估计 W。 这就是由 Widrow 等人提出的最小均方算法，即 LMS 算法。 下面推导一下它的公式。 在最陡下降法的式中，用梯度的估计 W 代替梯度 W 即得： ( 1 ) ( ) WW n W n     （ 412） LMS 算法采用如下的梯度估计值： 22[ ( ) ] [ ( ) ]WWWE e n e n     （ 413） 即它用瞬时输出误差功率的梯度 )]([ 2 neW 作为均方误差梯度 )]([ 2 neEW 的估计值。 换句话说，它用瞬时平方误差性能函数 )(2ne 代替了均方误差性能函数 )]([ 2 neE )。 得： )]([)()1( 2 nenWnW W  （ 414） 武汉理工大学《 信息处理课群综合训练与设计 》课程设计 12 )()()()()()( nXnWndnyndne T （ 415） 可得： )()(2)]([ 2 nXneneW  （ 416） 将式（ 416）代入式（ 414）得： )()(2)()1( 2 nXnenWnW  （ 417） LMS 算法的递推式的最大优点是它没有交叉项，因而可以方便地写成纯量方程组： )()(2)()1( nXnenWnw iii  ,i=1,2,…,M。