基于fft的连续信号谱分析毕业设计论文(编辑修改稿)

基于fft的连续信号谱分析毕业设计论文(编辑修改稿)内容摘要：

FT)只是离散傅里叶变换（ DFT）的一种快速计算方法，其并不是一种新的变换。 如前面所讲，有限长序列的特点是其频域可离散化成有限长序列。 DFT 的计算在信号处理中非常有用，再有，信号的谱分析对通信，图像传输，声纳等都是很重要的。 此外，在系统的分析，设计和实现中都会用到 DFT 计算。 但是，在很长一段时间里，由于 DFT 的计算量极大，即使采用计算机也很难对实际问题进行处理，所以没有得到真正的运用。 直到库利和图基提出机器计算傅里叶级数的一种算法，并经过后来人们的改进发展，完善了一套高 速有效的运算方法，使得DFT 的计算量得到简化，运算时间一般可以缩短一，二个数量级，从而使 DFT 的运算在实践中得到真正广泛应用。 FFT 的来源 若 x(n)是有限长序列，点数为 N，其 DFT为 10( ) ( )N nkNkX k x n W，其中， 2j NNWe ， k=0,1,„ N1 （ 31） 反变换（ IDFT）为 101( ) ( )N nkNkx n X k WN  ，其中， n=0,1,„ ,N1 （ 32） 二者 的差别只在于 NW 的指数符号不同，以及差一个常数因子。 因而，直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和 2N 成正比的，当 N 很大时运算量显而易见，例如，当 N＝ 8， DFT 需 64 次复乘，而当 N＝ 1024 时， DFT 需一百多万次复运算，这对实用性很强的信号处理来说，对计算速度要求是太高了。 下面讨论减少运算量的方法。 观察 DFT 的运算形式可看出，利用系数 nkNW 的以下特性，就可以减少 DFT 的运算量： nkNW 的共轭对称性 *()nk nkNNWW nkNW 的周期性 ( ) ( )nk n N k n k NN N NW W W nkNW 的可约性 湖北理工学院 毕业设计 (论文 ) 10 nk nkmN NmWW ， nknk mNNmWW 由此可得出 ( ) ( )N k n N n k nkNNNWWW  ， 2 1NNW  ， ()2W Nk kNNW  这样，通过这些性质，使 DFT 运算中有些项合并；利用 nkNW 的对称性，周期性及可约性 ,将较长序列的 DFT 分解成较短序列的 DFT，从而使 DFT 计算过程转化成许多迭代运算过程。 而前面已经说到， DFT 的运算量是与 2N 成正比的，所以 N 越小，运算 量越低。 快速傅里叶变换算法正是基于此而发展起来的。 它的运算基本上可以分成两大类，即按时间抽选法和按频率抽选法。 根据论文要求，我们只考虑前一种方法。 按时间抽选（ DIT）的基 2FFT算法（库利 图基算法） 算法原理 取序列点数 2LN ， L为正整数。 如果不满足这个条件，可以加上若干零值点，使达到这一要求，即为基 2FFT。 对 N 点序列，将 ()xn 按 n的奇偶性分组： 1(2 ) ( )x r x r ， 2(2 1) ( )x r x r ，其中 r=0,1,„ , 21N  则 DFT 转化成 10( ) [ ( ) ] ( )N nkNnX k D F T x n x n W  11 22 ( 2 1 )00( 2 ) ( 2 1 )NNr k r kNNrrx r W x r W    122221200( )( ) ( ) ( )NNr k r kNNrrx r W x r W （ 33） 利用系数 nkNW 的可约性，即 422j NNNW e W，则 11221 2 1 22200( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNr k k r k kN N N NrrX k x r W W x r W X k W X k    （ 34） 湖北理工学院 毕业设计 (论文 ) 11 式中 2()Xk与 2()Xk分别是 1()Xr及 2()Xr的 N/2 点 DFT： 11221 1 12200( ) ( ) ( 2 )NNr k r kNNrrX k x r W x r W （ 35） 11222 2 22200( ) ( ) ( 2 1 )NNr k r kNNrrX k x r W x r W   （ 36） 由式（ 34）可以看出，一个 N点 DFT 分解成两个 N/2 点的 DFT，它们按（ 34）式又可组合成一个 N点 DFT。 但是， 1()xr， 2()xr以及 1()Xk， 2()Xk都是 N/2 点的序列，即 r,k 满足 r,k=0,1,„ , 21N 。 而 X(k)却有 N点，而用式（ 34）只得 X(k)前一半，要用 1()Xk， 2()Xk来表式全部 X(k)值，还需利用系数的周期性质，即 ()222NrkrkNNWW 这样可得到 1122()21 1 1 12200( ) ( ) ( ) ( )2NNNrk rkNNrrNX k x r W x r W X k    （ 37） 同理可得 22( ) ( )2NX k X k （ 38） 式（ 37）、式（ 38）表明后半部段 k 值所对应的 1()Xk， 2()Xk与前半部段 k值所对应的 1()Xk， 2()Xk分别相等。 在考虑 nkNW 的性质： ()22NNk kkN N N NW W W W    （ 39） 这样，将式（ 37）、式（ 38）、式（ 39）带入式（ 34）中，就可将 X(k)表示成前后两段： 前半部分 X(k)， (k=0,1,„ , 21N  ) 12( ) ( ) ( ) kNX k k k WXX （ 310） 后半部分 X(k)， (k=0,1,„ , 21N  ) 212( ) ( ) ( )2 2 2NkNN N NX k X k W X k     12( ) ( )kNX k W X k ， k=0,1,„ , 21N  （ 311） 湖北理工学院 毕业设计 (论文 ) 12 这样，只要求出 0 到 ( 21N  )区间的所有 1()Xk， 2()Xk值，即可求出 0 到( 1N ） 区间内的所有 ()Xk值，这就大大节省了运算。 式（ 310）、（ 311）的运算可以用如下的蝶形信号流图 31表示。 图 31蝶形运算流图 采用这种表示法，其过程可图 32说明。 图 32 表示 N=8 的情况，输出值 X(0)到 X(3)是由式（ 310）给出的，输出值 X（ 4）到 X（ 7）是由式（ 311）给出。 据此，一个 N 点 DFT 分成两个 2N 点 DFT时，若直接计算 2N 点 DFT，则每个 2N 点 DFT 只需要 24N 次复数乘法， ( 1)22NN 次复数加法。 同时，把两个 2N 点DFT 合成为一个 DFT 时，有 2N 个蝶形运算，还需要 2N 次复数乘法及 N次复数加法。 因而通过这第一 步分解后，工作量总体得到大幅降低。 既然如此，由于 2LN ，因而 2N 仍是偶数，可以更进一步把每个 2N 点子序列按其奇偶性再分成两个 4N 点子序列。 先将 1()xr进行分解： 1314(2 ) ( )(2 1) ( )x l x lx l x l  （ 312） 其中， l=0,1,„ , 41N  11442 ( 2 1 )1 1 12200( ) ( 2 ) ( 2 1 )NNlk k lNNlrX k x l W W x l    1144344 2 400( ) ( )NNlk k kN N Nllx l W W x l W 342( ) ( )kNX k W X k， k=0,1,„ , 41N  1()Xk 2()Xk 12( ) ( )kNX k W X k 12( ) ( )kNX k W X k 湖北理工学院 毕业设计 (论文 ) 13 且 1 3 42( ) ( ) ( )4 kNNX k X k W X k  ， k=0,1,„ , 41N  其中 1433 40( ) ( )NlkNlX k x l W  （ 313） 1444 40( ) ( )NlkNlX k x l W  （ 314） 图 32 将 N点 DFT分为两个 2N 点的 DFT图 图 33给出 N=8 时，将一个 2N 点的 DFT分成两个 4N 点 DFT，由这两个 4N点 DFT 组合成一个 2N 点 DFT 流图。 同时， 2()xr也可以进行同样的分解，得到 1(0) (0)xx 1(1) (2)xx 1(2) (4)xx 1(3) (6)xx 2(1) (3)xx 2(0) (1)xx 2(2) (5)xx 2(3) (7)xx 2N 点 DFT (1)X (0)X (2)X (3)X (4)X (6)X (7)X (5)X 2N 点 DFT 湖北理工学院 毕业设计 (论文 ) 14 2 5 62( ) ( ) ( )kNX k X k W X k 2 3 62( ) ( ) ( )4 kNNX k X k W X k   其中 11445 2 54400( ) ( 2 ) ( )NNlk lkNNllX k x l W x l W （ 315） 11446 2 64400( ) ( 2 1 ) ( )NNlk lkNNllX k x l W x l W   （ 316） 最后将系数统一为 22kkNNWW，则一个 N=8 点 DFT 就可分成四个 2 点 DFT，这样就可得到 34图。 图 33 由两个 4N 点 DFT组合成一个 2N 点 DFT 根据上面同样的分析知道，最后剩下的是 2点 DFT，对于此例 N=8，就是四个2点 DFT，其输出为 3()Xk， 4()Xk， 5()Xk， 6()Xk (k=0,1)，这由式（ 313）至（ 316）可以计算出来。 由此可得出一个按时间抽选运算的大致的 8点 DFT 流 图，如图 35 所示。 31( 0) ( 0) ( 0)x x x 41( 0 ) (1 ) ( 2 )x x x 31(1 ) ( 2 ) ( 4 )x x x 41(1 ) ( 3 ) ( 6 )x x x 4N 点 DFT 4N 点 DFT 1(0)X 1(1)X 1(2)X 1(3)X 湖北理工学院 毕业设计 (论文 ) 15 图 34 将一个 N点 DFT分成四个 4N 点 DFT 运算量 由图 35 可知，当 2LN 时 (L表示级数 )，每级都由 2N 个蝶形运算组成，每个蝶形运算有一次复乘，二次复加，因而每级运算都需 2N 次复乘和 N 次复加，因此 L级运算共需 复 乘数 2lo g22f NNm L N 复加数 2logfa NL N N 因为 0 1NW ， 4NNWj ，这几个系数都不用乘法运算。 此外，当 N 较大时，这些特例相对而言就很少。 直接 DFT 算。