均值方差标准下确定给付型养老金的最优投资策略毕业论文(编辑修改稿)

均值方差标准下确定给付型养老金的最优投资策略毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

niiM in im iz e R xQ V S u b je c t to x e xV x V , 1( ) ( )() 39。 1niiM ax im ize R x W V xOW Subj e c t to x e x   三个字 母 , , ( 0)EV W  为合适的参数。 以上的三个模型代表了不同的投资者行为，但是每个模型都可以得到有效组合投资策略。 ()PE 模型代表投资者 是为了获得最小风险的模型 ； ()QV 模型代表投资者 是为了获得最大收益的模型 ； ()OW 模型 代表 投资者 是为了整体目标最优的投资模型。 一般均值 方差效用函数的最优投资组合 结合一般效用函数的模型的最优投资组 合问题 ( ( ) , ( ) )()39。 1M a xim ize U R x V xG S u b ject to x e 在这个式子中，函数 U 是关于 ()Rx 的单调递增，但是却又对 ()Vx单调递减。 引理 2 如果 nx 是 ()G 的最优解， 就有 某参数 nW 使得 nx 为 ()nOW 的最优解。 证明 假设 nx 为问题 ()G 的最优解。 上面已经提到的函数 U 是对 ()Rx 单调递增的，但又是对 ()Vx单调递减的，所以 nx 一定为 ()BP 的一个有效投资组合。 如果不是这样的话，我们可以由有效组合的定义知道，当存在 39。 x 这么一个投资组合时，可以使 ( ) ( 39。 ) , ( ) ( 39。 )nnR x R x V x V x又或者 ( ) ( 39。 ) , ( ) ( 39。 )nnR x R x V x V x。 但天津科技大学 2020届本科生毕业论文 13 是由于函数 U 是对 ()Rx 单调递增的，但又对 ()Vx是单调递减的，所以可以得知( ( ) , ( ) ) ( ( 39。 ) , ( 39。 ) )U R x V x U R x V x，是与 nx 是问题 ()G 的最优解相矛盾的。 但是每一个 有效 解都是 能 得到的。 所以， 在 nx 为问题 ()nOW 的最优解 的情况下，存在一个 nW 能令其成立。 因此，我们可以把 ()G 放到问题 ()OW 当中。 所以，我们来进一步的得出结论。 定理 5 假设 ()nOW 存在 最优解 nx ，那么 ()G 存在最 优解的条件 就为()()nn V nRUxW Ux。 证明 引理 2， 如果 ()G 放到 ()OW 下 ，所以 ()G 就可以被写为 ：m a x ( ( ( ) ) , ( ( ) )U R x W V x W,其中 0W。 这个问题的最优解的一阶必要性条件是( ) ( )( ( ) ) ( ( ) ) 0nnnnR x V xR x W V x WUUWW,但是，假如 nx 为问题 ()nOW 的最优解，我们可以比较两式 ( ( ) ) ( ( ) ) 0nnnR x W V x WWWW，可以看出向量( ( ), ( ))nnEVU x U x 和向量 (1, )nW 成比例，所以 ()()nn V nRUxW Ux。 由 定理 5 与 先前的成果 ， 可以得到结论， ()G 的解 符合m in 012optx x xW，()()V optv optUxW Ux。 得到它们的解，之后就会发现它的最优投资策略。 算例 我们把这个 算例 的考虑范围缩小，分为 风险证券的证券市场， 并假设31( 2 , 5 ) 39。 , ( )12RA , 1 211 ()135A  ，其中， R 为收益向量，另外两个为协方差矩阵。 （ 1） 在这个投资策略中， 期望收益 与方差可以写为1m i n 1 ( 3 / 7, 4 / 7 ) 39。 39。 Aex e A e， m in m in3267( ) 39。 ( 2 , 5 )4 77R x R x  ，天津科技大学 2020届本科生毕业论文 14 11m in 5( ) ( 39。 ) 7V x e A e， 10 12 6 3 177x A R e     ，0 0 0 9( ) 39。 ( ) 7R x R x V x。 （ 2） 考虑问题 39。 39。 1 , 39。 M in im ize x A xS u b ject to x e x R E  我们假设 4E ，可以得 出最优投资组合策略 min 0optx x x，m in0() 2( ) 9E R xRx ，1323optx。 若假设  ，得到的最优投资策略是： min 0optx x x， m in0() 11( ) 1 8E R xRx ，1656optx。 （ 3） 考虑问题 ()39。 , 39。 1M in im ize R xS u b ject to x A x V x e  假如 1V ，可以得出 min 0optx x x， 2m i n 0( ) ( ) ( )optV V x V x V x  ， 23 ， 3217 42optx   假如 2V ,可以得出 min 0optx x x， 2m i n 0( ) ( ) ( )optV V x V x V x  ， 1 ， 01optx  （ 4） 考虑问题 ( ) ( )39。 1M axim ize R x W V xSubject to x e  若 1W ,可以得到： 3 31137 144 1 1 1277 1 4optx            若 2W ，可以得到： 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 15 310374 1 177optx             （ 5） 考虑问题 ( ( ) , ( ) )() 39。 1M a xim ize U R x V xG S u b ject to x e  我们将效用函数采用下面的形式： 2( ( ) , ( ) ) ( ) ( )U R x V x R x V x 由定理 5，问题 ()G 的最优解满足m in 012optx x xW， 其中 () 1( ) 2 ( )V optR opt optUxW U x R x  ，所以3377 ( 2 , 5 )4377o p t o p txx                   此最优投资组合策略求解近似为 ： 65optx  天津科技大学 2020届本科生毕业论文 16 4 均值方差标准下确定给付型的养老金最优投资策略 在这一章我们要以均值方差为目 标来研究确定给付型养老金的最优投资问题。 通过基本知识中提到的内容来建立养老金最优投资的 HJB 方程，从而求得养老金的最优投资策略，并在最后 求得其有效前沿。 模型描述 这一节主要介绍金融市场和养老金的结构特点。 为了给出养老金的财富过程，进而定义了金融资产的价格。 金融市场结构 我们假设有两种金融资产存在于金融市场中，分别为无风险资产（债券）和风险资产（股票）。 我们把无风险资产在 t 时刻的价格定义为 ()Bt ，需要让它满足微分方程， 0 0 0( ) ( ) , ( 0 ) , 0d B t r B t d t B B r   （ 41） 其中， 0r 为一个 未知数。 对于股票中的价格来说，遵循的是随机性。 所以，我们把类似于这样的价格想象为是几何布朗运动的。 但是对于模拟股票价格波动来说，更优的是常方差弹性模型，即 CEV 模型。 所以我们为了更符合实际，就把股票价格假设为 CEV模型。 在 t 时刻时，把股票的价格定义为 ()St ，使它满足模型， 110( ) ( ) ( ) ( ) , ( 0 )d S t r S t d t S t d W t S S   , (42) 其中，定义 1r 为风险投资的期望瞬时回报率，同时又满足 10rr。 股票的瞬时波动率为 ()St ，  为常弹性系数，人们通常将 0。 我们假设一个概率空间( , , )FP ，其中，字母  表示为实空间，字母 P 表示为概率测度。 养老金的财富过程 我们将养老金最优投资问题总体上划分为退休前与退休后这两种情况，假设退休后 采用的是年金。 在这种方式下，假设 不把 意外 情况考虑在内。 然后，我们可以把 T 定为退休时刻， N 定为支付 周期。 (1)退休前  0,T 时期 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 17 我们定义投保人在退休前， 可以任意进行投资。 在 t 时刻时，将 ()Vt定义 为最终解 ， i 和 1 i 为 在两者上的 投资比例。 为了使研究更贴近实际，定义给付率 c 为正常数， 有关于退休前的方程为： 0( ) ( )( ) ( 1 ) ( ) ( ) , ( 0)( ) ( )ttdB t dS tdV t V t V t c dt V VB t S t    ， （ 43） 其中， 0(0)VV 表示的是养老金的初始财富。 我们将（ 41）与（ 42）代入（ 43）中，可以将退休前的财富过程整理为下式， 01( ) ( ( 1 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )t t td V t V t r V t r c d t V t S t d W t       。 （ 44） (2)退休后  ,TT N 时期 我们之前定义 ()tT 为退休 的点 ，其中给付额是提前确定的 ，并可以来买年金。 将 N 期年金所需要支付资金定义为 D，可以想象，需要满足 TDV。 但是，资金难免会出现剩余，剩余的资金会回到养老金账户或者回到基金管理者手中。 我们将退休后的给付额定义为 B。 退休之后，养老金需要被用在支付确定的年金，而且可以投资在债券和股票中。 和先前的假设一样，假设 ()Vt为 t 时刻养老金的财富价值， t 和 1 t 为债券和股票的投资比例。 所以，退休后养老金的财富过程可以表示为， 01( ) ( ( 1 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )t t td V t V t r V t r B d t V t S t d W t       。 (45) 最优控制问题 最优化标准 前面说过，对于一个理性的投资者来讲，他们的对投资的目标是一致的。 无论是退休前还是退休后，他们都是想要高收益，低风险的。 这就是 属于均值 方差模型。 (1)退休前的最优化标准 定义 如果 2 (0,。 )tFL T R  ,我们就认为 这个方程的解是 t。 同时，将可行的投资策略 t 代入方程（ ） 中 ，可以求得 其 养老金财富 ()Vt。 所以，( ( ), )tVt 就被称为一个可行的养老金投资策略组合。 命题 均值 方 差下退休前养老金的随机最优控制问题 2( ) ( ( ) )M in V a rV T E V T K 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 18 ( ) ,( ( ) , )tE V T Ks u b je c t toV t is a d m is s ib le  （ 46） 投保人希望的是养老金能获得更高的增值才回去选择在股票。