反例在数学中的应用毕业论文(编辑修改稿)

反例在数学中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

(0,1,1) ， 1 (1,0,0)  ， 2 (0,1,0)  明显的是  不能由 12,线性表出，然而 12, 线性相关 ． 2. 若 12, , , r   线性无关，则其中任意两个不同的向量必定线性无关，反 之如何。 即两两线性无关，是否全部线性无关。 例 1 (1,1,1) ， 2 (1,0,0)  ， 3 (0,1,1)  ， 这里任意两向量线性无关 ． 可是， 1 2 3  ，即 1 2 3,   线性相关 ． 所以，两两线性无关，不一定全部线性无关 ． 子空间 3. 子空间的直和都是和，而子空间的和未必是直和 ． 例  1 2 3( , , )iV a a a a 是 实 数， P 是实数域 ．  1 1 2( , , 0 ) iS a a a 是 实 数，  2 2 3(0 , , ) iS b b b 是 实 数． 显然 12V S S 对任意的 ( , , )x y z V ， 反例在数学中的应用 12 ( , , ) ( , , 0 ) (0 , 0 , ) ( , 0 , 0 ) (0 , , )x y z x y z x y z    只要 0y ，就是两种不同的表示方法 ． 所以， 12VV 不是直和 ． 线性变换 中的反例 1. 线性变换把线性相关的向量组变为 线性 相关的向量组，但 反之 不真 ． 例 0变换就把线性无关的向量组变为 线性相关的向量组 ． 2. 线性变换的乘法不 满足 交换律 ． 例 在 实数域 R 上的 线性空间 Rx中，线性变换 ( ( )) ( )f x f x  0( ( )) ( )xf x f t d t   的乘积， = ，而一般说来   ．  为单位变换（恒等变换） 3. 线性变换乘积的指数法则不成立，即一般来说，  k kk   k 例 线性变换   221 2 3 1 2 3 3, , ( , , )x x x x x x x ，  1 2 3 1 2 2 3 1, , (2 , , )x x x x x x x   = 取 (1,0,1) ，则    1 , 0 ,1 ( 2 ,1 ,1 ) ( 4 , 2 ,1 )     = ，      2 4 , 2 , 1 (6 , 3 , 4 ) ( 3 6 , 7 , 1 6 )     =；    2 2 2 2 21 , 0 ,1 ( 3 , 2 , 2 ) ( 8 1 , 8 ,1 6 )       =； 即  2 22   k 成立 ． 4. 相似矩阵有相同的特征多项式，但反之不真 ． 例 1001A ， 1101B  2| | ( 1)EA  ， 2| | ( 1)EB   即有相同的特征的多项式，可是 A 与 B 不相似 ，这是因为 反例在数学中的应用 13 11X AX X X E  这就是说， A 只能与 E 相似 ． 定义 设  是数域 P 上线性空间 V 的线性变换， W 是 V 的子空间 ． 如果 W 中的向量在  下的像仍在 W 中，我们就称 W 是  的不变子空间，简称  子空间 5.  ，  是线性空间 V 的线性变换 ． 若  = ，则 ()V ， 1(0)B 都是  子空 间，同样 ()V ， 1(0)A 是  子空间 ,反之不真 ． 例 P是数域 1 2 3{ ( , , ) }iV x x x x P 而 1 2 3 1 2 2 3( , , ) ( , , )x x x x x x x  1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )x x x x x x  都是线性变换 ． 易知 ()VV  ， 1(0)A 0 都是  子空间 ； ()VV  ， 1(0)B 0 都是  子空间 ． 可是 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x x x x x x x x       1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x x x x x x x x x       因而   ． 反例在数学中的应用 14 第二章 数学分析 中的反例 数学分析 也 是数学专业的一门重要基础课 之一 , 是进一步学习 数学其他课程的基础 ． 它是一门 逻辑性 很 强 的课程， 它有 许多重要 的 概念都是用抽象的数学语言 来 描述 的 , 在学习过程中 很难 理解其 中 含义 , 因此在 学习中 经常使用反例来理解 学习中时 常 出现的错误 , 充分理解一些定理和概念 ． 这部分 对课本中容易出现错误的概念和定理用反例来加深理解和学习 ． 数列 中的反例 1. 定理 [3]：设 limnn aa ， limnn bb ，则 ⅰ ） l i m( ) l i m l i mn n n nn n na b a b a b         ； ⅱ ） li m li m li mn n n nn n na b a b a b         ； ⅲ ） limlim ( 0 )lim nnnn naa a bb b b   ． 那么，对于两个发散的数列， 是否有 ： （ 1）之和发散；（ 2）之积发散，（ 3）其商发散。 答案是不成立，有反例 可以说明 ． 例如， (1) 1nxn ， nyn ． 因为 limnn x ， limnn y ，则 nx 发散的， ny 是发散的 ． 但是数列 l i m l i m( 1 ) ( ) 1nnnnx y n n         却是收敛的 ． (2) ( 1) 1nnx    ， ( 1) 1nny    ． 这两个数列都是发散的，但是数列 l i m l i m [ ( 1 ) 1 ] [ ( 1 ) 1 ] 0nnnnnnxy           却是收敛的 ． (3) nxn ， 2nyn ． 这两个数列都发散，但是 反例在数学中的应用 15 2 1lim lim lim 0nn n nnx ny n n        是收敛的。 2. 定理 有极限存在的数列必有界 ． 反之不真，存在反例 ． 例 数列 1 ( 1)nnx    数列 nx 在 0 和 2 之间跳动，但当 n 时，并不 能 接近于一个常数，因此极限 limnn a并不存在 ． 3. 定理 单调 上升（下 降） 有 上（下） 界 的 数列 必有极限存在 ． 然而， 收敛数列 单调有界 ， 是否成立呢。 不成立，存在反例：收敛 但是不单调的数列 ． 例 3 ( 1 ) , 1 , 2 , 3nnxnn， 其极限 3 ( 1 )lim lim 0nnnnx n    ，但是对于任意正整数，都有 242 1 2kk ， 242 1 2kk ， 即 2 1 2kkxx  ， 2 1 2kkxx  ． 所以，数列并不单调 ． 4. 若 limnn aa ， lim| | | |nn aa ，反之是否成立。 反之不成立，例如， ( 1)nna  ． lim 1nn a  ，但是 lim( 1)nn 不存在 ． 5. 若  nnxy 收敛， 是否   ,nnxy就收敛。 不能断 定，存在反例 ． 例如 ， ( 1)nnnxy   ，  nnxy 收敛，但是   ,nnxy发散 6. 若 {}na ， {}nb 中一个是收敛数列，一个是发散数列，那么 {}nnab 和 反例在数学中的应用 16 { }( 0)n nna bb  是否也是发散数列 ． 例 取 1na n， nbn ， 则 1nnab ，21nnabn， 故 {}nnab 和 {}nnab 是收敛数列 ． 函数 中的反例 函数的极限 1. 定义 2. 1[4] 设 ()fx在 0x 点附近（除 0x 点外） 有定义 , A 是一定数 ． 若 对 任意给定的 0 ，存在 0 ， 当 00 | |xx    时 , 有 | ( ) |f x A  , 则称 A 是 ()fx当 x 趋于 0x 的极限 ． （ 1）我们会 认为 如果 ()fx在 0x 点处有极限 , ()fx 在 0x 就有 定义 ． 根据定义：在 0x 点附近（除 0x 点外） 有定义 ， 这说明函数 ()fx 在 0x 是否存在极限与函数在 0x 处是否有定义无关 ． 例 3 1() 1xfx x   在 1x 处虽然无定义，但1lim ( ) 3x fx ． 在 1x 处无定义 , 但极限是存在的 ． （ 2）若 ()fx在 0x 处有定义 , 但 ()fx在 0x 处的极限与 (0)f 在 0x 处的函数值无 关 ． 例 21si n 0( ) 0 010xxxf x xxx  ，， ， 反例在数学中的应用 17 尽管 ()fx在 0x 处有定义 (0) 0f  ， 但 ()fx在 0x 时极限不存在 ． （ 3） 在函数极限定义中将 | ( ) |f x A  改为 ( ) f x A  ，是否有0lim ( )xxf x A 。 结论是不成立的 ． 例 ( ) sin 1f x x， 1A ， 0 0x ， 则 0， 0， 当 00 xx    时 , 总 有 ( ) s in 2 0f x A x      成立 ,但0lim ( ) s in 0 1 1 1x fx     ． 2. 如果0lim ( )xxfx存在，但0lim ( )xxgx不存在，那么0lim[ ( ) ( )]xx f x g x 不存在 [6]． 此命题错误，存在反例 ． 例 ()f x x ， 1( ) singx x 因为 lim( )x fx不存在， lim ( ) 0x gx ，但 1si n1l im [ ( ) ( ) ] l im si n l im 11x x x xf x g x x xx        ． 3. 若函数0lim ( )xxf x A ，则0lim | ( ) | | |xx f x A ，但反之不真 ． 例 sin() ||xfx x 0 0 0si n | si n |l i m | ( ) | l i m | | l i m 1| | | |x x xxxfx xx    ； 0 0 0s i n s i nl i m ( ) l i m l i m 1||x x xxxfx xx    ， 0 0 0s i n s i nl i m ( ) l i m l i m 1||x x xxxfx       ． 故0lim ( )x fx不存在 ． 反例在数学中的应用 18 函数 的连续性 1. 定义 [4] 设函数 ()fx在 在包含 0x 一个开区间有定义 ,如果 0 0lim ( ) ( )xx f x f x , 则称 ()fx在 0x 是 连续 的 ． 有定义可见， ()fx在 0x 点连续 需要满足下列三个条件 [4]: ⅰ ) ()fx在 0x 点附近以及 0x 点有定义 ； ⅱ ) ()fx在 0x 点的极限存在 ； ⅲ )。