压缩映射原理的性质和应用毕业论文(编辑修改稿)

压缩映射原理的性质和应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

它们又会有哪些应用呢。 这些都是在论文中我要讨论的问题。 6 第二章 Banach 压缩映射定理的证明思路探究 参考文献 [2]中记载有 Banach 压缩映射定理 :设 X 为完备的度量空间，:T X X 且满足    , , ,d Tx Ty kd x y  0,1k ，则 T 在 X 内有唯一的不动点。 证明 定义 0,nnx T x 0x 为 X 中任意取定的一点，则根据 压缩映射条件得    1 0 0,nnnd x x k d x Tx  ， 所以得 ,        0 0 0 0, 1 , ,1 nnpn p n kd x x k k k d x Tx d Tx xk       ， 所以 nx 为 Cauchy 列。 因为 X 为完备的度量空间， 所以 存在 x 满足 limnn xx ， 所以 1nnTx x Tx x  。 唯一性，略。 注释 :之所以把这个定理证明一遍是因为定理的证明方法同样适用于其他类型的压缩映射原理下面的例子就要说明这个问题。 例 子 设  51 1ii at ，其中      : 0 , 0 ,1iat ，定义域内是单调递减的，对于,x y x y X   ，有  ,d TxTy     1 ,a d x y d x y+     2 ,a d x y d x Tx+ 7     3 ,a d x y d Ty y+     4 ,a d x y d x Ty+     5 ,a d x y d Tx y，则 T 在 X 内存在唯一不动点。 分析：根据 Banach 压缩映射原理的证明可以得到如下证明思路 : （ 1） 令 0,nnx T x 0x 为 X 中任意取定的一点。 （ 2） 通过证明  1lim , 0nnn d x x  ，进一步证明 nx 为 Cauchy 列。 （ 3） 证明 nx 的极限点是不动点。 （ 4） 证明唯一性 . 下面就根据上述分析证明这个例题 . 证明 定义 0,nnx T x 0x 为 X 中任意取定的一点 ,接下来该证明  1lim , 0nnn d x x  ， 根据 压缩映射条件得 , ,1nnd  1a 1,nnd + 2a 1,nnd + 3a ,1nnd + 4a 1, 1nnd + 5a ,nnd ， 其中记  , ,m n n md d x x ，记  1,i i n na a d 。 交换 1nx 与 nx 的位置可得另一不等式为 , 1 , 1 , 1 2 , 1 3 1 , 4 , 5 1 , 1n n n n n n n n n n n nd a d a d a d a d a d         ， 两个不等式相加得 ,    , 1 1 2 3 4 5 , 1 2 3 4 5 , 122n n n n n nd a a a a a d a a a a d          ， 整理得 ,  1 2 3 4 5, 1 , 1 , 1234522n n n n n na a a a ad d da a a a        ， 即 ,1nnd 单调递减。 下面利用反证法证明  1lim , 0nnn d x x  ,先假设  1lim ,nnn d x x p 0， 下面证明 0p。 定义                            1 1 2 3 4 5,1 1 2 3 4 5 12 n n n n n nn n n n n n n n na b a b a b a b a b a bq d q b a b a b a b a b a b a b           ， 所以                    1 2 3 4 523452 12a p a p a p a p a pqp a p a p a p a p      ， 所以 ， 8              , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 01 , 0nn n n n n n n n n nq d q p d q d d q q p d q p d x x              这与 ,1nndp  矛盾，所以 0p。 下证 nx 为 Cauchy 列 . 因为  , 1 1 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 , 5 , 1,m n m n m n m m n n m n m nd d T x T x a d a d a d a d a d                  1 , 1 , , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 , , 5 , , 1,m m m n n n m m n n m m m n n m n na d d d a d a d a d d a d d            。 整理得 ，    , 1 4 2 , 1 1 3 5 , 11 4 511m n m m n nd a a a d a a a da a a        。 所以,lim 0mnmn d ，即 nx 为 Cauchy 列。 设 x 满足 limnn xx ，下证 Tx x。 根据极限的唯一性，也即证 limnn x Tx ，因为    1,nnd x T x d T x T x          1 1 2 1 3 4 1 5, , , , ,n n n n na d x x a d x x a d x T x a d x T x a d x x                    1 1 2 1 3 3 4 1, , , , ,n n n n n n na d x x a d x x a d x x a d x x a d x x         4 , na d Tx x  5 , nad x x ， 整理得 ，            1 1 2 4 1 3 5341, , , ,1n n n nd x T x a d x x a a d x x a a d x xaa       ， 由此可得  lim , 0nn d x Tx ，即 limnn x Tx 。 通过上面的讨论，总结出了一套证明压缩映射原理的方法， 从证明的例子中也可以看出： 只要涉及到递推问题的压缩映射原理，都可以按照上述步骤，用类似方法进行证明，虽然许多细节处不尽相同，但主要的套路是不变的。 通过对证明方法的分析，也使我对压缩映射原理理解的更为深刻。 理解了证明，在此基础 9 上构造出新的压缩映射原理也会变得容易。 10 第三章 Banach 压缩映射原理的 推广 推广的背景 ： 在 第一章 中列举有代数型压缩映射原理共计 80 类， 根据 参考文献 [3]， 1977年， 数学家 ..BERhoades 提出了六个公开问题： (1) 若 f 为第 16 类压缩映像， f 在 X 中连续而且若存在 0xX , 而且  0nfx 有聚点，那么 f 是否有不动点。 (2) 若（ 1）是错误的猜想，那么修改成为什么条件可以保证 f 有不动点。 (3) 当 f 是第（ 61）至（ 64）类的压缩映像之时，会有怎样的结论。 (4) 当 f 是第（ 68）至（ 80）类的压缩映像之时，会有怎样的结论。 (5) 局部压缩能否推广到（ 10）（ 26）（ 42）（ 58）（ 74）。 (6) 上面的 5 个问题对于映像对，序列时的情况又有什么样的结论。 对于上述问题，科学家的出了很多成果，本文主要是对证明方法的应用，所以下面在种类繁多的压缩映射原理中任选一个进行证明。 下面根据之前总结的方法，证明 参考文献 [5]中的一个定理。 定 理：若 T 为第九类压缩映射时，即满足         , m a x , , , , , , ,d T x T y d x y d y T y d x T x x y T   连续，若存在 X 是  0 0n nTx的聚点，则  是 T 的唯一不动点，且 0nTx。 证明 因为 X 是  0 0n nTx 的聚点 ，所以 可以设 0lim iinn Tx   ，下面分三步证明， 11 第一步， 如果存在 ,k  使得 100kkT x T x ， 因为0lim ii nn Tx  ， 所以 10 0 0 0l im l im l im l imi i i ii i i in n k n k nkkn n n nT x T T x T T x T T x T            。 第二步： 与 第一步 中条件互补， 即 如果对于  ,k   100,0kkd T x T x ， 令  ( ) , ,V x d x Tx x X,那么满足 Vx非负连续 ，因为 T 为第九类压缩映射 ，所以    ,V Tx V x 对于 x Tx ，因为，                  2, m a x , , , , , m a x , ,V T x d T x T T x d x T x d x T x d T x T x V x V x V T x  所以    ,V Tx V x 对于 xX。 因为  0nTx ， 所以 in ，使得 0lim iinn Tx  。 因为   0nV T x 单调递减，非负 ， 所以  0lim 0nn V T x r 。 因为 V 连续 ，所以      00l i m l i miiiinnnnV T x V T x V r     。 因为 T 连续 ，所以      100l im l imii innnnV T x V T T x V T    ，所以 ，    V T V (极限的唯一性 )， 所以， T (否则，    V T V )。 第三步： 下面证明0lim nn Tx  。 情况一， 如果 001nnT x T x ，那么当 0nn ， 000nnT x T x ，所以 000lim nnn T x T x   情况二， 否则对于 ,k  有  100, 0,kkd T x T x 因为0lim nn Tx  ， 所以    000 100l im , , 0nnn d T x T x d T ，所以 对于 0, ,J i J   时，有    0 0 010 0 0, , ,n n nd T x T x d T x   。 所以 当 jnn 时，有    00,n n nd T x d T x T     110 0 0m a x , , , , 0n n nd T x d T x T x 12     2 1 20 0 0m a x , , ,n n nd T x d T x T x       10 0 0m a x , , ,j j jn n nd T x d T x T x   。 所以0lim nn Tx  。 本章内容是对第二章内容的更深层次的推广，但用到证明的核心思想和上一章是一样的，通过对类似问题的研究使我明白看问题不能只。