势阱中粒子运动的能级和波函数毕业论文(编辑修改稿)

势阱中粒子运动的能级和波函数毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

21 124DJ k B k kD J k A kk    () 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数 ,以 R 表示 .由上面结果 ,有  2122212411R AJ k kRDJkkA      () 由上两式可见 ,D 和 R 都小于 1,D 和 R 之和等于 0x 区域 ,另一部分被势垒反射回去 .为画出粒子分布的几率密度图 ,我们令入射波的振幅 1A ,得到 1112112 , ( 0 )i k x i k xkke e xkk    () 212122 , ( 0 )i k xk exkk  () 粒子的几率密度分布 如 图 所示 .要注意当 12kk , 即 0 0U 时 ,势垒消失 ,因此 反射为零 ,透射系 数 1D .此时 只有 入 射波而 没有反射波 ,在 0x 、 0x 的区域粒子分布的几率密度相同 ,如图 所示 . 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 8 0EU 的情况 此时我们只要令 22ki ,  2 0 222k E U i     2022 UE  () 则我们得到 : 111 , ( 0 )i k x i k xA e A e x    () 222 , ( 0 )xxB e B e x     () 由于当 x 时 ,波函数应该保持有限 ,所以应取 ()中的 0B .因此有 12kiAA k i   () 1122kBA k i  () 此时反射系数为 : 2 2122121R AJ k iR J k iA      () 透射系数为 : 22 10DBJDRJA     () 与经典力学不同的是 ,虽然透射系数为零 ,但在 0x 区域找到粒子的几率并不为零 .如果我们取 1A ,则可将波函数写作 : 1112112, ( 0 )i k x i k xkie e xki      () 图 设 1 2k , 2 2k , 粒子几率密度图 . 图 设 1 2k , 2 1k , 粒子几率密度图 . 对于两个图并排情况 ,注意两图要对齐 ,说明文字也要对齐 ,图的版式采用上下型 . 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 9 212122 , ( 0 )xk exki    () 从 ()可以看出虽然入射波与反射波的振幅相同 ,反射系数为 1,但由于 /AA 为一复数 ,所以反射波相对于入射波有一相移因子 .这与经典力学无共同之处 ,但与光在金属表面反射时的情况类似 .造成 这种原因是因为粒子进入了 0x 区域延误所 致 . 由 ()和 ()式我们可以画出在 0x 和 0x 区域中找到粒子的几率密度 曲线 .从图中可以明显的看出 ,在 0x 找到粒子的几率 随着 x 的增加而指数衰减 ,在 21/x  的区域内 ,找到粒子的几率几乎可以忽略不计 .值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅相同 ,所以入射波与反射波在 0x 的区域中发生干涉 ,使得一些点 2 0  ,这是干涉相消的结果 .这与 0EU 时的情况不同 ,因为在 0EU 时入射波的强度大于反射波的强度 ,干涉相消的结果只使 0x 的区域中的一些点 的几率密度取极小值 ,另一点取极大值 ,但不会完全为零 .当然当 2 0k  时 ,反射波的振幅接近入射波的振幅 ,因而那些取极小值的点将趋于零 . 0U  的情况 当势垒高度趋于无穷大时 ,即 0U 时的解 ,可以由 0EU 的情况中令2 得到 : 212lim 1kiAA k i     () 21122lim 0kBA k i  () 此时反射系数为 : 图 设 1 2k , 2 1 , 粒子几率密度图 . 图 设 1 2k , 2  , 粒子几率密度图 . 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 10 221212lim 1RJ k iR J k i     () 透射系数为 : 2lim 1 0DJDRJ     () 如果我们令 1A ,则可将波函数写成如下形式 : 111 , ( 0 )ik x ik xe e x    () 2 0 , ( 0)x  () 值得注意的是 ,由 ()和 ()式给出的波函数 1 和 2 ,在 0x 点处波函数连续 ,但波函数的导数并不连续 .这是因为在 0U 时 ,在 ()式中 221( ) ( ) ( )k n x d x         右端的积分在 0 时 ,由于 ()nx 并不等于零 .所以在这种情况下 ,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续 . 我 们可以由方程 ()和 ()给出的波函数 1 和 2 ,绘出在 0x 和 0x 区域 找到粒子的几率曲线图 ,相位相差  ,显然在0x 区域 中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零 . 实际上 0U 时所给出的粒子几率分布曲线图 ,是在 0EU 时 2 的极限情况 .为了说明这一点 ,我们利用方程 ()和 ()分别取 2 为 2 、 10 和 1000 画出图、 图 和图 2 10 时与图 已经很接近 ,而当 2 取 1000 时图 与图 已经无法区别 .从这里可以理解实际上所谓 0U 的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似 . 图 当 0U ,取 1 2k , 2 时的粒子几率密度图 . 图 当 0EU ,取 1 2k , 2 2 时的粒子几率密度图 . 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 11 图 当 0U ,取 1 2k , 2 10 时的粒子的几率密度图 . 图 当 0EU ,取 1 2k , 2 1000  时的粒子几率密度图 . 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 12 3 方形 势垒散射 模型与方程 考虑在一维空间中运动的粒子 ,它的势能在有限区域  0 xa 内等于常量 000 UU ,而在这个区域外等于零 ,即    ax,xxU ax,UxU   00 00 () 我们称这种势为方势垒 图 .具有一定能量 E 的粒子由势垒左方  0x 向右方运动 . 粒子的波函数  所满足的定态薛定谔方程是  ax,x,Edxd  002 222   () 和    2 0222 0 , 0d E U x adx       () 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论 . 0EU 情况 与 ()式一样我们定义 1k 和 2k 将 方程 ()和 ()改写为  ax,x,kdxd  002122  () 和  2 222 0 , 0d k x adx     () 此处 21k,k 都是大于零的实数 . 在 0x 区域内 ,波函数 xikxik eAAe 111  () 是方程 ()的解 . 在 ax0 区域内 ,方程 ()的解是 xikxik eBBe 222  , () 在 ax 区域内 ,方程 ()的解是 ()Ux0UO ax图 一维方势垒 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 13 xikxik eCCe 113  () 按照公式 ()    , iE tx t x e  定态波函数是 321  , 再分别乘上一个含时间因子 Etie . 由此看出 ()— () 三式右边第一项是由左向右传播的平面 波 ,第二项是 由右向左传播的平面波 .在 ax区域内 ,没有由右向左运动的粒子 ,因而只应有向右传播的透射波 ,不应有向左传播的波 ,所以在 ()式中必须令 0C () 在 0x 和 ax 均可以用波函数和波函数导数的连续条件 ()和 ()来确定函数中的其它系数 .由     0201   xx  ,我们有 BBAA  由0201 xx dxddxd  有 BkBkAkAk  2211 由     axax   32  ,有 aikaikaik CeeBBe 122   由032 xax dxddxd  有 aikaikaik CekeBkBek 122 122   解这一组方程组 ,可以得出 A,C 和 A 的关系是     Aekkekk ekkC aikaik aik 22 1 221221 214    ()     22221 2 2221 2 1 22 s i ni k a i k ai k k a kAAk k e k k e     () ()和 ()两式给出透射波 和反射波振幅与入射波振幅之间的关系 .由这两 式可以求出 透射系数为 :  2 2212222 2 2 2 21 2 2 1 24s in 4DCJ k kDJ A k k a k k k    () 反射系数 为 :    22 2 2 21 2 2222 2 2 2 21 2 2 1 2si n 1si n 4R k k akAJRDJ Ak k ak k k     () 晋中学院本科生毕业 (设 计 )论文 14 由上两式可见 ,D 和 R 都小于 1, D 和 R 之 和等于 ax 区域 ,另一部分被势垒反射回去 ..特别要注意当 2ak n , 0,1,2,n 时 ,反射为零 ,透射系数 1D ,产生所谓共振透射 .此时 只有透射波而 没有反射波 . 从系数方程解得 : 2221 1 22 221 2 1 221 1 22 221 2 1 22 ( )( ) ( )2 ( )( ) ( )i a ki a ki a kk k kBAe k k k ke k k ke k k k k      令 1,A 我们得到波函数的 形式为 :     1122221 2 21 221 2 1 22 s i ni k x i k xi k a i k ai k k a keek k e k k e    () 2222221 1 2 1 1 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )i a ki k x i k xi a k i a kk k k e k k keee k k k k e k k k k         ()    1 122123 221 2 1 24 ik a ik xik。