函数项级数一致收敛的几个判别法_数学与应用数学专业毕业论文(编辑修改稿)

函数项级数一致收敛的几个判别法_数学与应用数学专业毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

意固定 ,0),(],1,0[  yxfx y 即 ),( yxf 是区间[1,+)上的减函数 ,因此由定理 2 知 ,含参变量积分 1 ),( dyyxf在 [0,1]上一致收敛 . 由此可见 ,以定理 2为依据 ,我们既可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质 ,也可以利用积分的便利条件判断某些函数级数的一致收敛性 . 数学与统计学院 2020届毕业论文 6 利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 定理 函数数列  )(xn 在数集 D 上一致收敛于  )(x 对任意给定的 ZN,0 ,使得当 nN 时 ,对一切 Dx 和任意的 Zp ,都有  |)()(| xx npn . 定理 函数项级数 1 )(k k xu在数集 D上一致收敛  对任意的  ZN,0 ,使得当 nN 时 ,对一切 Dx 和任意的 Zp ,都有 |)(|1pnnk k xu  |)(. . .)(| 1 xuxu pnn . 由定理 1 和定理 2 容易看出 ,函数项级数一致收敛同他的部分和序列的一致收敛是等价的 .虽然都是充要条件 ,但在实际应用上 ,要用这一原理判断一致收敛仍是困难的 ,因为函数的片段也是较难求和 .从以上的定理可推出更为简单的 M判别法如下： 定理 设 有 函 数 项 级 数 )(1 xuk k, 且 Dx 的每一项 )(xuk 满足DxMxu kn  ,|)(| ,则函数项级数 )(1 xuk k在 D 上一致收敛 . 由上可知 ,M 判别法也只是充分判别法 ,一般的函数项级数很难满足此充分条件 ,即使在满足的条件下 ,在寻求其相应的控制级数（或优级数）时也具有相当的难度 . 定理 设级数 )(xun 为函数项级数 , Ix 若 NN ,使 nN 时有)(|)( )(| 1 xrxu xunn  ,其中 1)(sup  rxrIx ,且 )(xun 在 I上有界 ,则 )(xun 在 I上绝对收敛 . 证明 不妨设 n=1 时就有 )(|)( )(| 1 xrxu xu nn ,则可推的 Mrxurxu nnn 111 |)(||)(|   n=2,3… M |)(|sup1 xuIx= 而 11nnMr 收敛根据 M 判别法 |)(|1n n xu在 I上一致收敛 . 推论 设级数 |)(|1n n xu为函数项级数 , )(|)( )(|lim, 1 xrxu xuIx nnn  若, 1)(sup  rxrIx且 )(xun （ n=1,2...）于 I 上有界 ,则 1 )(n n xu在 I 上绝对一致收敛 . 证明 由 )(|)( )(|lim 1 xrxu xu nnn 且 1)r0(1)(s u p   不妨取得rxrIx, NN ,当数学与统计学院 2020届毕业论文 7 nN 有 1)(|)( )(| 1   rxrxu xu nn,即当 nN 有|)(|)(|)(|)(| 11 Nnnn rxurxu    NNnN Mrxu  1)(|)(| 其中 |)(|sup xuM NIxn 而NNn Nn Mr 1)(  收敛 .根据 M 判别法 , )(xun 于 I绝对一致收敛 . 定理 设级数 1 )(n nxu为 函 数 项 级数 , NN.  若Ix 使 nN 时有)(|)(| xrxun n  ,且 1)(sup  rxrIx ,则 1 )(n n xu在 I 上绝对一致收敛 . 证明 据条件 ,nN 时有 成立。 nnn rxrxu  )(|)(| 由 r1,1nnr 收敛 ,据 M 判别法 ,1 )(n n xu于 I 绝对一致收敛 . 推论 设 1 )(n n xu为函数项级数 , 若Ix ),(|)(|lim xrxunnn  1)(sup  rxrIx,则级数 1 )(n n xu于 I 绝对一致收敛 . 证明 由 1)(|)(|lim  rxrxun nn可见 )1(0   r使不妨取 NnNN  当 有 1)(|)(|   rxrxun n 即当 nN有   1 )(,)(|)(| nnnn rrxu  而收敛 .据 M判别法 ,1 )(n n xu于 I 绝对一致收敛 . 定理 设 1 )(n n xu,1 )(n n xv都定义在 I 上 ,若 0)(  xvIx n有 ,n=1,2,...且1 )(n n xv 于 I 一致收敛 ,且 NnNN  当 有 )(|)(| xvxu nn  ,则 1 )(n n xu 于 I 绝对一致收敛 . 证明 由 1 )(n n xv在 I上一致收敛 ,且 )(xvn ≥ 0,n=1,2... )(|)(| xvxu nn  n=1,2...据数学与统计学院 2020届毕业论文 8 Cauchy 一 致 收 敛 准 则 ： 则 NN  1,0 , 当 n 1N 时Np 有  )(...)()(0 21 xvxvxv pnnn 而由 nN 时 )(|)(| xvxu nn  Ix ,则当 ),max( 1NNn 时 ,便有   )(...)()(|)(|...|)(|0 211 xvxvxvxuxu pnnnpnn Ix 此时 1 )(n n xu在 I上满足 Cauchy 条件 ,故 1 )(n n xu于 I 一致收敛 . 有效充要判别法 定理 设函数数列 )}({ xuk 在（ a,b）内一致有界 ,且 ...)2,1)(( kxuk 关于 x的单调递增或单调递减 ,则 1 )(k k xu在（ a,b）内一致收敛  数项级数  1 ),( )(supk kbax xu和 1 ),( )(infk kbax xu 都收敛 . 证明 先证必要性 因为 1 )(k k xu在（ a,b）内一致收敛 ,即对任意给定 0 ,存在 )( 有关仅与 NZN  ,使得nN 时 ,对一切  Zpbax 及任意的),( ,有2)(2 1     pn nk k xu. 故2)(s up2 1),(     pn nk kbax xu.又由于 ...)2,1)(( kxuk 关于 x 的单调增加或单调减少 ,不妨设...)2,1)(( kxuk 关于 x 单调增加 ,且函数列 )}({ xuk 在（ a,b）内有界 ,则每一个 )(xuk 在（ a,b）内有界 ,必有上确界 , 令 )(sup),( xukbaxk ,则 )(s u p)(lim),( xuxu kbaxkkbx    由上有 pnnk kbax xu1),( )(sup )](...)()([lim)(lim 211 xuxuxuxu pnnnbxpnnk kbx      pn nk kbax xu1 ),( )(sup = )(lim1 xukpnnk bx   )](...)()([lim 21 xuxuxu pnnnbx    , 即 pnnk kbax xu1),( )(sup=  。