函数最值问题常见的求法_毕业论文(编辑修改稿)

函数最值问题常见的求法_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

,ab]上的最值。 ．不等式法 通 过 式的 变形 , 将 函 数 解析式化 为 具有“ 基本不等式” 或“ 均值不等式” 结 构特征 ， 从 而利用基本不等式或均值不等式求最值 ， 利用基本不等式求最值时 ， 一定要 关 注等 号 成立的 条 件。 而 利用均值定理求最值，必 须满 足的三 个条 件：“一正”：各 项 均 为 正 数 ；“二定”：和或 积为常数 ；“三相等”：等 号 必 须成 立。 ,ab是正 数 ，那么 2ab ab  ， 当 且 仅当 ab 时 ，等 号 成立 公式： ① 222( ) ( , )22a b a bab a b R   ② 22 ( 0 , 0 )22a b a ba b a b    另外 对 公式 2ab ab  还 有如下 扩 展： 设 12,aa， … ， na 是 n 个正数 ， 则 有 1212n n na a a a a an    ， 其中等 号成立的 条 件是 12 na a a  ，由此可得 结论 ：若 这 n 个正数 的和 为定 值， 则当这 n 个正数相 等 时 ，它 们 的 积 取最大值；若 这 n 个正数 的 积为定 值， 则当这 n 个正 数相 等 时 ，它 们 的和取最小值。 如果能根据所 给 函 数 的特 点 ， 设法将 函 数 化成若干 个 部分的和或 积 ， 则可 利用上述性 质求出 最值。 例：已知 0xy且 1xy ，求 22xyxy的最小值及此 时 的 ,xy的值。 解：∵ 0xy，∴ 0xy 8 ∵ 1xy （定值） ∴ 22xyxy 2( ) 2 2( ) 2 2x y x y xyx y x y     上式成立 当 且 仅当 2xyxy时 所以 联 立方程 组012xyxyxyxy  得622622xy    ∴ 当 622x  ， 622x  时 ， 22xyxy取最小值 22。 ．函 数 的 单调性 法 对 于 单调 函 数 ，最大（小）值出 现 在定 义 域的 边 界 处 （ 对 于 非单调 函 数 ，通常借助 图 像求解更方便）。 一般地，因 为恒 成立的 问题 可以用求最值的方法 来 解决 ，而利用 单调性是 求最值的常用方法。 有以下 关 系： ()f x a 恒成立 min ()f x a ()f x a 恒成立 max ()f x a 函 数 的 单调性是 研究函 数 的值域与最值的 问题的 重要方法。 例：已知函 数 ()fx 2 12 2xxx，  1,x  ，求函 数 ()fx的最小值。 解：∵ 0x ，∴ ()fx 1 22x x， ( 1)x 设 121 xx， 则 12( ) ( )f x f x =121211( 2 ) ( 2 )22xxxx     12 1211( ) ( )22xx xx    9 211212 (1 2 )2xx xxxx 210xx， 120xx ， 121 2 0xx ∴ 12( ) ( )f x f x 0，即 12( ) ( )f x f x ∴ ()fx在  1,x  上是增函 数 ， ∴ ()fx的最小值 为 7(1) 2f  ． 换元 法 换元 法是一种 应 用非常 广泛 的方法，主要有三角 换元 和代 数换元 ，它在多 种类 型 问题的 求解中都很有用，用 换元 法求函 数最 值，就是根据函 数 表 达式 的特 点 ，把某一部分看作一 个 整体或用一 个 新 变 元 来 代替 ，达 到化繁 难为简 易，化陌生 为熟悉， 从 而 使原问题 得解。 用 换元 法 时 要特 别关 注中 间变 量的取值范 围。 运 用代 数代 换 ， 将 所 给 函 数 化成值域容易确定的另一函 数 ， 从 而求得原函 数 的域。 形如 y ax b cx d   （ , , ,abcd 均 为 常 数 ，且 0a )的函 数常用 此法求解。 例：求函 数 2 1 2y x x   的值域 解：令 1 2 ( 0)t x t  ， 则 212tx  所以 2 1y t t   215()24t   所以 当 12t ，即 38x ，max 54y ， 无 最小值， 所以 2 1 2y x x   的值域 为 [54 ， +∞﹚ . 线性规 划法 求线 性目 标 函 数在线 性 约 束 条 件下的最大值和最小值 问题 ,， 称为线性规 划问题。 一般解 题 步 骤是 ： （ 1）根据 题 意，建立 数学 模型，作出不等式 组区 域的 图 形即可行域； 10 （ 2） 设 所求的目 标 函 数 (,f xy） 为 m 的值； （ 3） 将 各 顶点 坐 标 代人目 标 函 数 , 即可得 m 的最大值与最小值或求直 线( , =mf x y） 在 y 轴 上截距的最大（最小）， 从 而得 m 的最大（最小）值。 例： 营养学 家指出，成人良好的日常 饮 食 应该 至少提供 的碳水化合物， 的蛋白 质 ， 的脂肪， 1kg 的食物 A 含有 碳水化合物， 蛋白 质 ， 脂肪，花 费 28 元；而 1kg 的食物 B 含有 碳水化合物， 蛋白 质 ， 脂肪，花 费 21 元。 为 了 满 足 营养专 家指出的日常 饮 食要求，同 时 使花 费 最低，需要同 时 食用食物 A 和食物 B 多少 kg。 分析： 将 已知 数 据列成下表： 食物 /kg 糖水化合物 /kg 蛋白 质 /kg 脂肪 /kg A B 解： 设 每天食用 x kg 食物 A， y kg 食物 B， 总 成本 为 z ，那么 0. 10 5 0. 10 5 0. 07 5 ,0. 07 0. 14 0. 06 ,0. 14 0. 07 0. 06 ,0,0。 xyxyxyxy   ① 目 标 函 数为 28 21z x y 二元一次不等式 组 ① 等价于7 7 5,7 14 6,14 7 6,0,0。 xyxyxyxy   ② 作出二元一次不等式 组 ② 所表示的平面 区 域，即可行域。 11 考 虑 28。