函数单调性的应用本科毕业论文(编辑修改稿)

函数单调性的应用本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

值。 例 3 判断函 数 2 12 ( 2 s in ) , 0()2 , 0xxfx xx    在 ）（ 0oU 的单调性。 解：函数 ()fx ,2)0(0  fx 处取得极大值在 ）内（但在 00U 11( ) 2 ( 2 sin ) c o sf x x xx     有正有负， 的左右两侧都不单调在从而 0)( xxf。 定理 7（极值的第二充分条件） 设函数 ()fx在 0x 的某领域 ）（ 。 0xU 内一阶可导，在 0xx 处二阶可导，且 0( ) 0fx  ，0( ) 0fx 。 （ 1）当 0( ) 0fx  ，则函数 ()fx在 0x 处取得极大值； （ 2）当 0( ) 0fx  ，则函数 ()fx在 0x 处取得极小值。 证明：在情形（ 1），由于 0( ) 0fx  ，按二阶导数的定义有 0000( ) ( )( ) li m 0xxf x f xfx xx  根据函数极限的局部保号性，存在 0x 的某个去心邻域 ）（ 。 0xU ，在该邻域内有 00( ) ( ) 0f x f xxx  ； 则在 0xx 时， 0)(  xf ，在 0xx 时， 0)(  xf。 由极值的定义可知，函数 ()fx在 0x 处取得极大值。 同理，可证明（ 2）当 0( ) 0fx  ，函数 ()fx在 0x 处取得极小值。 例 4 设函数 )(xyy 由方程 xyy  2 所确定，且   00 xy。 问 )(xyy  在 0x 处是否取得极值。 若取得极值，是极大值还是极小值。 解：因为 0)()( 2  xxyxy ，所以 01)()(2)(  xyxyxy ，即 安阳师范学院人文管理学院本科毕业论 文（设计） 7 1)()(2)(  xyxyxy 又  0)(011)()(2)( 0000  xyxyxyxy ， 处取得极小值在 0) xxy。 函数单调性的判别 初等数学中函数单调性的判别 在最初对函数的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、分段函数等。 在对这些函数的学习中我们主要结合了函数的图像来判断函数的单调性。 一次函数单调性的判别 一次函数的解析式： ()f x ax b 当 0a 时，对应定义域内图像是上升的： 当 0a 时，对应定义域内图像是下降的； 当 0a 时，一次函数变成为常数，不讨论单调性。 二次函数单调性的判别 二次函数的解析式 2()f x ax bx c  ，其图形形式为抛物线。 其中当 0a 时，抛物线开口向上，当抛物线在 2bx a 时，函数有最小值 2= 4byc a ，即在 ( , ]2ba 上为单调递减函数；其中当 0a 时，抛物线开口向上，当抛物线在 2bx a 时，函数有最大值2= 4byc a ，即在 [ , )2ba  上为单调递增函数。 指数函数单调性的判别 指数函数的一般解析式 () xfxa ,其中 0a 且过点（ 0,1）。 其中当 10 a 时，函数在定义域内为单调递减函数 ,其中当 1a 时，函数在定义域内为单调递增函数。 10 a 时，a 的值越小函数值下降越快； 1a 时， a 的值越大数值增加越快。 对数函数单调性的判别 对数函数的一般解析式   logaf x x ,其中 0a 且过点  1,0。 其中当 10 a 时，函数在定义域内为单调递减函数，其中当 1a 时，函数在定义域内为单调递增函数。 当 10 a时 ,a 的值越小函数值下降越快；当 1a 时 ,a 的值越大函数值增加越快。 安阳师范学院人文管理学院本科毕业论 文（设计） 8 高等数学中利用导数判别函数单调性 设函数 ()y f x 在 0x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 0x 处取得增量 x （在点xx 0 仍在邻域内）时，相应地函数取得增量 y 00( ) ( )f x x f x  ；如果 y 与 x 之比，在 0x 时的极限存在，这称函数 ()y f x 在点 0x 处可导，并且称这个极限为函数 ()y f x在点 0x 处的导数，记为 0()fx ，即 000 00 ( ) ( )39。 ( ) l im l imxx f x x f xyfx xx      。 导数体现在单调性上就是导数的几何意义：函数 ()y f x 在点 0x 的导数 039。 ( )fx在几何上表示曲线 ()y f x 在点 00M( , ( ))x f x 处的切线的斜率，即 039。 ( ) tanfx  ，其中  是切线的 的倾角。 也就是说若导数大于零，则函数单调增加，若导数小于零，则函数单调减小。 例 1 求证：当 20 x 时， xxx 2tansin 。 证明：令 xxxxf 2ta ns in)(  ，则 2s e cc o s)( 2  xxxf ，则 23( ) 2 se c ta n sin sin ( 2 se c 1 ) 0f x x x x x x      故 )(xf 在 ）（ 2,0 上单调递增， 从而当 20 x 时， 0)0()(  fxf ，于是 )(xf 在 ）（ 2,0 上单调递增， 0)0()(  fxf ，即 xxx 2tansin 。 函数单调性的解题应 用 单调性在求极值、最值中的应用 一元函数的极值 极值定义：一般地，若函数 )(xf 在点 0x 的某领域 )(0xU 内对一切 )( 0xUx 有)()( 0 xfxf  则称函数 )(xf 在点 0x 取得极大值， 0x 是极大值点。 函数 )(xf 在点 0x 的某领域 )(0xU 内对一切 )( 0xUx 有 )()( 0 xfxf  ，则称函数 )(xf 在点 0x 取得极小值， 0x 是极小值点。 极大值与极小值统称为极值。 极大值点、极小值点统称为极值点。 例 1 设 a 为实数 ,函数 32( ) .f x x x x a    (1)求 )(xf 的极值。 (2)当 a 在什么范围内取值时 ,曲线 xxfy 与)( 轴仅有一个交点。 安阳师范学院人文管理学院本科毕业论 文（设计） 9 解： (1) 39。 ()fx 23 2 1xx   ， 若 39。 ()fx=0，则 x 31 ， x 1。 当 x 变化时， 39。 ()fx， ()fx变化情况如下表： xx (－∞，－ 13 ) － 13 (－ 13 ， 1) 1 (1， +∞ ) 39。 ()fx39。 ()fx + 0 － 0 + ()fx()fx 极大值 极小值 ∴ ()fx的极大值是 15()3 27fa  ，极小值是 (1) 1fa (2)函数 3 2 2( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f x x x x a x x a         由此可知，取足够大的正数时，有 ( ) 0fx ，取足够小的负数时有 ( ) 0fx ，所以曲线()y f x 与 x 轴至少有一个交点。 结合 ()fx的单调性可知： 当 )(xf 的极大值 5 027 a ，即 )275,( a 时，它的极小值也小于 0，因此曲线()y f x 与 x 轴仅有一个交点，它在 (1, ) 上。 当 ()fx的极小值 a － 10即 a (1, ) 时，它的极大值也大于 0，因此曲线 y = ()fx与 x轴仅有一个交点，它在 1( , )3 上。 所以，当 )275,( a ∪ (1, ) 时，曲线 y = ()fx与 x 轴仅有一个交点。 例 2 设函数   32 ()f x x b x c x x R   ，已知 ( ) ( ) ( )g x f x f x是奇函数。 （ 1）求 b 、 c 的值。 （ 2）求 ()gx的单调区间与极值。 解：（ 1）∵   32f x x bx cx  ，∴   232f x x b x c   ,从而 3 2 232( ) ( ) ( ) ( 3 2 ) = ( 3 ) ( 2 )g x f x f x x b x c x x b x cx b x c b x c            即 ()gx是一个奇函数 ,所以 (0) 0g  得 0c ，由奇函数定义得 3b ； （ 2） 由（ 1）知 3( ) 6g x x x从而 2( ) 3 6g x x ，令 2( ) 3 6g x x =0， 解得 2x ，由 2( ) 3 6 0 , 2 2g x x x x      解 得 或， 2( ) 3 6 0g x x    安阳师范学院人文管理学院本科毕业论 文（设计） 10 22x  解 得。 由此可知 ,函数 ()gx的单调递增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) ；单调递减区间是( 2, 2) ；进而得 ()gx在 2x 时，取得极大值，极大值为 42， ()gx在 2x 时，取得极小值，极小值为 42。 二元函数的极值 对于二元函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内有二阶的连续偏导数， 00( , ) 0xf x y  ，0),( 00 yxfy。 令 00( , )xxf x y A ， 00( , )xyf x y B ， 00( , )yyf x y C。 （ 1）当 02 BAC 时，函数 ( , )f xy 在 ),( 00 yx 处有极值，且当 0A 时有极小值),( 00 yxf ； 0A 时有极大值 ),( 00 yxf ； （ 2）当 02 BAC 时 ，函数 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处没有极值； （ 3）当 02 BAC 时，函数 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处可能有极值，也可能没有极值。 如果函数 ),( yxf 具有二阶连续偏导数，则求 ),( yxfz 的极值的一般步骤为： 第一步 解方程组 ( , ) 0( , ) 0xyf x yf x y  ， 求出 ( , )f xy 的所有驻点； 第二步 求出函数 ( , )f xy 的二阶偏导数，依次确定各驻点处 A 、 B 、 C 的值，根据2BAC 的符号判定驻点是否为极值点 . 最后求出函数 ),( yxf 在极值点处的极值。 例 3 设 ),( yxzz 是由 0182106 222  zyzyxyx 确定的函数，求 ),( yxzz 的极值点和极值。 解：因为 0182106 222  zyzyxyx ，所以 02262  xzzxzyyx 0222206  yzzyzyzyx 令0,0zxzy 得 30 ,3 10 0xyx y z   故 3 ,xyzy 将其代入 0182106 222  zyzyxyx ，可得 安阳师范学院人文管理学院本科毕业论 文（设计） 11 3,3,9zyx 或 933xyz 由于 02)(222 22222  x zzxzx zy 226 2 2 2 2 0z z z z zyzx x y y x x y                 02)(222220 22222  y zzyzy zyyzyz 所以 61)3,3,9(22  x zA ，21)3,3,9(2  yx zB，35)3,3,9(22  y zC， 故 03612  BAC ，又 061A ，从而点 ）（ 3,9 是 ),( yxz 的极小值点，极小值为 3)3,9( z。 类似地，由 61)3,3,9(22 xzA ， 21)3,3,9(2  yx zB，35)3,3,9(22  y zC 可知 03612  BAC ，又 061A ，从而点 ）（ 3,9 是 ),( yxz 的极大值点，极大值为3)3,9( z。 二元函数的条件 极值（拉格朗日数乘法） 拉格朗日数乘法： 设二元函数 ( , )f xy 和 ( , )xy 在区域 D 内有一阶连续偏导数，则求( , )zxy 在 D 内满足条件 (, )xy 的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y  （。