多元统计分析引言及多元正态分布(编辑修改稿)

多元统计分析引言及多元正态分布(编辑修改稿)内容摘要：

mographic and lifestyle information (using nonmetric scales) about them. Describe a statistical method that you would use to help predict the tourgoing potential of consumers based on their demographics and lifestyles 第一章 随机向量 167。 3 矩 一、数学期望 定义 pqppqqxxxxxxxxx212221212111X 是有随机变量构成的随机矩阵， 定义 X的数学期望为 )()()()()()()()()()(212221212111pqppqqxExExExExExExExExEEX特别当时 ， 便可得到随机向量 的数学期望为 1q ),( 21  pxxx x))(,),(),(()( 21  pxExExEE x 性质 1） 设 为常数 ， 则 ； )()( XX aEaE 2） 设 分别为常数矩阵 ， 则 CBA ,CBXACAXB  )()( EE 3） 设 为 个同阶矩阵 ， 则 n21 XXX , n )( n21 XXX E n21 XXX EEE   二、协方差矩阵 定义：设 和 分别为 维和 维随机向量 ， 则其协方差矩阵为 ),( 21  pxxx x ),( 21  qyyy yp q  )()()()()()(22112211qqppyEyyEyyEyxExxExxExE),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (212221212111YXyxyxyxyxyxyxyxyxyxqpppqq的协方差矩阵为),( 21  pxxx x)v a r (),c o v (),c o v (),c o v ()v a r (),c o v (),c o v (),c o v ()v a r ()(2122121211pppppxxxxxxxxxxxxxxxV a rx 性质 1） 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)相互独 立。 则 0),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyx 若 (x1,x2,… ， xp)’的 分量相互独立 , 则协方差 矩阵 ， 除主对角线上的元素外均为零 ， 即 )v a r (000)v a r (000)v a r ()(21pxxxV a rx2）随机向量 X的协方差矩阵 是非负定矩阵。 证：设 a为任意与 X有相同维数的常数向量，则 axxEaaa ]))(([  ]))(([ axxaE  0)]([ 2  xaE3）设 A是常数矩阵， b为常数向量，则 V(AX+b)=AV(X)A’ ； )( bAX V)]))[( bAbAX  E ])))[(  bAbAX AxxA ]))([(  E AxA  )(V 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)分别是 p和 q维随机 向量 ， A和 B为常数矩阵 ，则 ByxAByAx  ),(),( C ovC ov),( ByAxC ov证}])() ] [ (({ [ (  xBBxxAAx EEEBxxA  ]))([( E 若 (k1,k2,… ， kp)是 n个不全为零的常数， (x1,x2,… ， xp) 是 相互独立的 p维随机 向量 ，则  )( 21 n21 xxx nkkkV )()()( 22221 n21 xxx VkVkVk n  三、相关系数矩阵 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)分别是 p和 q维随机 向量 ，则其相关系数矩阵为 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx。 ，两随机向量相互独立若 0yx ),(167。 4 随机向量的变换 一 、 一元随机变量的变换 设 x具有概率密度函数 fx(x)， 函数 y=(x)严格单调 ， 其 反函数 x=(x)有连续导数 ， 则 y的概率密度函数为 |)(|))(()( yyfyf xy   其中 y的取值范围与 x的取值范围相对应。 例 设随机变量 x服从均匀分布 U(0,1),即密度函数  其他0101)( xxfx的密度函数。 求 )0(ln1   xyyeyx   )(解y的取值范围为 (0,),则 |)(|))(()( yyfyfxy  |)(|1|)(|))( yyyx eeef    ye  二、多元随机向量的变换 若 (x1,x2,… ,xp)’ 有密度函数 f (x1,x2,… ,xp),有函数组 ),( 21 pii xxxy  pi ,2,1 其 逆变换 存在 ),( 21 pjj yyyx  pj ,2,1 则 的概率密度函数为 ),( 21  pyyy y||)),(,),((),(2121121J ppppyyyyyyfyyygppppppppyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxx2122212121112121),(),(J特别：若 ， 其中 为 阶可逆常数矩阵 ， 为 维常数向量 ， 则 bAxy  Apbp1||)(   AAyxJ 1第二章 多元正态分布 167。 1 多元正态分布的定义 一 、 标准多元正态分布 设随机向量 , 独立同分布于 ， 则的 密度函数为 ),( 21  puuu upuuu , 21 )1,0(N),( 21  puuuu pi ipinipxxxxxf1222121)21e x p ()2()21e x p (21),(  ix pi ,2,1 其中的 均值为 ),( 21  puuu u 0),()( 21  pEuEuEuE u2212221212121)()(pppppuuuuuuuuuuuuuuuEV aruuEu 协方差为 I111 二、一般的正态分布 )]()(21e x p [)2(),( 121221    xxxxxf pp ix其中 的均值为 ),( 21  pxxx x ),()( 21  pE  x协方差为 22211222222122112211211)())(())(())(()())(())(())(()(pppppppppxxxxxxxxxxxxxxxE),( 21  pxxx x称 服从均值为 E(X)， 协方差为 的正态分布。 设随机向量 ,若其的密度函数为 ),( 21  pxxx x 三、一般的正态分布和标准正态分布的关系 ),(),()( 2121  ppExExExE  x设 ， 其中 是一个 阶非退化矩阵 ， 服从 维标准正态分布 ， 则 服从 维正态分布 ， 且均值向量为 pp  AuxA ),( 21  puuu uAux   pAAxxEx22211222222122112211211)())(())(())(()())(())(())(()())(()(pppppppppxxxxxxxxxxxxxxxEV ar协方差为  AAAV arV ar )()( uAx||)]()(21e x p [)2(),( 1221 J   xxxxxf pp)]()(21e x p [)2( 1212    xxp211)(   AAAJ xu 若 ， 则 Σ － 1存在 ， 是非退化 元正态分布； )()( qppr a n k A  Auxp 若 ， 则 不存在 ， 是退化 元正态分布 ， 不存在密度函数。 )()( qppr a n k A 1  Auxp 注：。