复变函数与积分换算之fourier变换(编辑修改稿)

复变函数与积分换算之fourier变换(编辑修改稿)内容摘要：

f f t F FF证明 由卷积和 Fourier变换的定义 , 可得 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e t   F12( ) ( ) d ditf x f t x x e t       12( ) ( ) d ditf x f t x e t x       1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x      12( ) ( ) .FF d 函数的 Fourier变换 因为 d 函数是广义函数 , 所以其 Fourier变换不 是通常意义下的 Fourier 变换 . 根据 Fourier 变换的 定义 , 以及 d 函数的性质 , 可 得 证 运行下面的 MATLAB语句 . symst w D=sym(39。 Dirac(t)39。 )。 % 调用 Dirac函数 F=fourier(D)F =1 ifourier(sym(39。 Dirac(w)39。 ))ans=1/2/pi[ ( ) ] ( ) d 1 ,itt t e tdd  F1 11[ ( ) ] ( ) d .22ite d  d  F通常 , 没有意义 . 然而由 [1]F 1 1[ ( ) ] ,2d  F在广义函数意义下 , [ 1 ] 2 ( ) . d F因为 d (x)是 d 逼近函数 的弱极限 , 所以由 ()x例 求矩形脉冲函数 (E0) , 2() 0, t2Etpt   的频谱 . 2( ) si n .2EF  1( ) 2 sin .2FE  解, 也可以理解为 [ ( )]xdF0[ ( ) ] lim [ ( ) ]xx d FF(1) d 函数 Fourier变换的时移和频移性质 00[ ( ) ] [ ( ) ] ,itt t e tdd FF0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite   d  F0s inlim 1 .证明 运行下面的 MATLAB语句 . syms t w t_0 f=sym(39。 Dirac(t+t_0)39。 )。 F=fourier(f)F =exp(i*t_0*w) g=sym(39。 Dirac(tt_0)39。 )。 G=fourier(g)G =exp(i*t_0*w)根据 Fourier变换的定义以及 d 函数的性质 , 00[ ( ) ] ( ) ditt t t t e tdd    F0 0 0() [ ( ) ] ,i t i t i te e e t   d     F1001[ ( ) ] ( ) d2ite d   d     F01 ,2ite 即 0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite   d  F例 计算 和 0[c o s ]tF 0[ s in ] .tF解 运行下面的 MATLAB语句 . symst w a % 输入 a代替 w_0,否则发生混淆 ,出现错误 f=cos(a*t)。 g=sin(a*t)。 F=fourier(f)F =pi*Dirac(aw)+pi*Dirac(a+w) r=simple(F) r =pi*(Dirac(aw)+Dirac(a+w))根据 d 函数 Fourier变换的 , 可得 (1 ) d 函数 Fourier 变换的时移和 频移性质00[ ( ) ] [ ( ) ] ,itt t e tdd FF0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite   d  F00011[ c o s ]22i t i tt e e        F F F00( ) ( ) , d   d     00011[ s in ]22i t i tt e eii        F F F00( ) ( ) .i d   d     例 计算 22 s in 3 .tF解 运行下面的 MATLAB语句 . symst w f=2*(sin(3*t))^2。 F=fourier(f)F =pi*Dirac(w6)+2*pi*Dirac(w)pi*Dirac(w+6)利用 , 可得 例 和 0[cos ]tF 0[sin ].tF解 运行下面的 MATLAB语句 . symst w a % 输入 a代替 w_0,否则发生混淆 ,出现错误 f=cos(a*t)。 g=sin(a*t)。 F=fourier(f)F =pi*Dirac(aw)+pi*Dirac(a+w) r=simple(F) r =pi*(Dirac(aw)+Dirac(a+w))根据 d 函数 Fourier变换的 , 可得(1) d函数 Fourier变换的时移和 频移性质 00[ ( )] [ ( )],itt t e tddFF0 0[1 ] 2 ( ).ite  d  F 000 11[ c o s ] 22i t i tt e e       F F F00( ) ( ) , d   d     0[ s in ] i t i tt e eii       F F F00( ) ( ) .i d   d     22 s in 3 [ 1 c o s 6 ] [ 1 ] [ c o s 6 ]t t t   F F F F 2 ( ) ( 6 ) ( 6 ) . d  d  d     (2) d 函数 Fourier变换的微分性质 () ( ) ( ) ,nntid F ()[ ] 2 ( ) ,n n nti  d F其中 n为正整数 . 证明 运行下面的 MATLAB语句 , 验证 n=4的情形 . symst w f=t^4。 g=sym(39。 Dirac(4,t)39。 )。 F=fourier(f)F =2*pi*Dirac(4,w) G=fourier(g)G =w^4根据 Fourier变换的定义 , 以及 d 函数的性质 , ( ) ( )( ) ( ) dn n i tt t e tdd    F( 1 ) ( ) ( ) .n n nii   又因为 1 ( ) ( )12 ( ) 2 ( ) d2n n n n i ti i e  d   d    F( 1 ) ( ) ,n n n ni it t  所以 ()[ ] 2 ( ) .n n nti  d F167。 离散 Fourier变换 1 离散 Fourier变换及其性质 2 快速 Fourier变换 离散 Fourier变换及其性质 定义 设 是长度为 N ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N的序列，称序列  )210( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1N i nkNnF k f n e k N   为 f (n)的 离散 Fourier变换 , 记做 即  D F T ( ) ,fn ( ) D F T ( )F k f n )210( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .N i nkNnf n e k N   称序列  )2101 ( ) 0 , 1 , 2 , , 1N i nkNkF k e n NN为 F(k)的 离散 Fourier逆变换 , 记做  ID F T ( ) .Fk   )( ) I D F T D F T ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .f n f n n N  离散 Fourier变换的反演公式 (证明 )当 m=n时 , 当 mn时 , 21 ()0。 N i k m nNk eN   2 ()21() 2()011i N m nN Ni k m nN i m nk Neee 2 ()1 c o s( 2 ( ) ) sin ( 2 ( ) ) i m nNm n i m ne    所以根据 离散 Fourier变换和离散 Fourier逆变换的定义 , 对 0 ,1, 2 , , 1nN记 则离散 Fourier变换及逆变换分别 2 ,iNWe简化为  )10( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1。 NnknF k f n W k N  ( 0 )(1 )( 1 )FFFN0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 )( 1 )NN N N NfW W W WfW W W WfNW W W W           离散 Fourier变换的矩阵形式 变换矩阵  )101( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .N nkkf n F k W n NN  ( 0 )(1 )( 1 )fffN0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 )1( 1 )NN N N NFW W W WFW W W WNFNW W W W                 离散 Fourier逆 变换的矩阵形式 逆变换矩阵 例 求序列 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , 3 )2f n n n的离散 Fourier变换 . 0 0 0 00 1 2 30 2 4 60 3 6 9( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 )( 3 ) ( 3 )FfW W W WW W W WFfW W W WW W W W                  1 1 1 1 1 01 1 0 2.1 1 1 1 1 01 1 0 2iiii                                由 N=4得 于是 2 ,iW e i  解 运行下面的 MATLAB语句 . symsn n=0:3。 fn=cos(pi*n/2)。 % 生成序列fn = k=n。 nk=n39。 *k。 WN=exp(i*2*pi/4)。 Wnk=WN.^nk。 % 生成变换矩阵离散 Fourier变换具有如下一些基本性质 . (1)。