高考理科数学抛物线复习资料(编辑修改稿)

高考理科数学抛物线复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

，且与抛物线交于 A 、 B 两点． (1) 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程； (2) 若 α 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x轴于点 P ， 求证： |FP |－ |FP | cos2 α 为定值，并求此定值． 21 22 解： ( 1 ) 设抛物线的标准方程为 y2＝ 2 px ，则 2 p ＝8 ，从而 p ＝ 4. 因此焦点 F (p2， 0 ) 的坐标为 ( 2 , 0 ) ，又准线方程的一般式为 x ＝－p2，从而所求准线 l 的方程为 x ＝－ 2. 23 ( 2 ) 证明：如图，作 AC ⊥ l， BD ⊥ l，垂足分别为C 、 D ，则由抛物线的定义知 |FA |＝ |AC |， |FB |＝ |BD |. 记 A 、 B 的横坐标分别为 xA、 xB， 24 则 |FA |＝ |AC |＝ xA＋p2＝ | FA | cos α ＋ 4 ， 解得 | FA |＝41 － cos α，则类似地有 |FB |＝ 4 － |FB | cos α ， 解得 |FB |＝41 ＋ cos α， 记直线 m 与 AB 的交点为 E ， |FE |＝ |FA |－ |AE | 25 ＝ |FA |－|FA |＋ |FB |2＝12( |FA |－ | FB | ) ＝12(41 － cos α－41 ＋ cos α) ＝4cos αsin2α. 所以 |FP |＝|FE |cos α＝4sin2α， 故 |FP |－ |FP | cos 2 α ＝4sin2α( 1 － cos2 α ) ＝4 2sin2αsin2α＝ 8. 26 • 3. 河上有一抛物线形拱桥 ， 当水面距拱顶 5 m时 ， 水面宽为 8 4 m， 高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 m， 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时 ， 小船不能通航。 • 解： 如图所示 ， 建立直 • 角坐标系 .设桥拱抛物线方程 • 为 x2=2py(p0).由题意 ， • 将 B(4， 5)代入方程得 p=， 故 x2=. 题型 3 抛物线的应用性问题 3427 • 船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA′，则 A(2， yA)，由22=，得 yA= . • 又知船面露出水面上的部分为 m， • 故 • 答：水面上涨到距抛物线拱顶 2 m时，小船不能通航 . • 点评： 抛物线的应用性问题，注意选设合适的坐标系，然后利用曲线的方程，转化为代数式的计算问题 . 54343| | 2 ( ) .4Ah y m  28 • 某隧道横截面 • 由抛物线及矩形的三边组成， • 尺寸如图 (单位： m).某卡车空 • 车时能通过隧道。 现载一集装 • 箱，箱宽 3 m，车与箱共高 • m，此车能否通过此隧道。 请说明理由 . 29 • 解： 如图所示，建立直 • 角坐标系 • B的坐标为 (0， 5),抛物线弧 • 端点 A的坐标为 (3， 2).可设 • 抛物线的方程为 x2=2p(y5). • 利用点 A(3， 2)在抛物线上， • 可确定待定的 p值 . 30 • 故将 A点坐标 (3， 2)代入抛物线方程， • 得 p= .所以 x2=3(y5). • 因箱宽为 3 m，故只需比较抛物线上的 • 点 M(， y0)的纵坐标与车和箱的总 • 高，就可判定此车能否通过隧道 . • 将 x=，得 y=. • 因为 ，故此车不能通过隧道 . 3231 • 1. 求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法 .为避免开口方向不一定而分成y2=2px(p0)或 y2=2px(p0)两种情况求解的麻烦 ， 可以设成 y2=mx或 x2=ny(m≠0， n≠0).若 m0， 开口向右 ， m0， 开口向左 ， m有两解 ， 则抛物线的标准方程有两个 . • 2. 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离 ,即 |PF|=|x|+ 或 |PF|＝|y|+ ,它们在解题中有重要的作用 ， 注意运用 . 2p2p32 • 3. 由于抛物线的标准方程结构简单 ， 对于抛物线上的点的坐标 ， 常根据抛物线方程设出 ， 可以减少运算中字母的个数 . • 4. 抛物线的几何性质有如下一些特征： ①顶点 、 焦点在对称轴上； ② 准线垂直于对称轴； ③ 焦点到准线的距离为 p， 到顶点的距离为。 ④ 过焦点垂直于对称轴的弦 (通径 )的长为 2p等 . 2p33 第八章 圆锥曲线方程 第 讲 （第二课时） 34。