线性代数_习题参考答案(编辑修改稿)

线性代数_习题参考答案(编辑修改稿)内容摘要：

1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1x x xx x xDxx x xx               4321 0 01 0 0 ( 1 )1 0 01 0 0 0xxx x x x xx      4x ． 4．计算 n 阶行列式1 2 32 1 2 13 2 1 21 2 1nnnD nn n n LLLL L L L LL． 解 11221121 2 3 1 1 3 4 11 1 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 2 0 0 01 1 1 1 1 1 2 2 2 0nnnnjrrrrrrn ccjnn n n nD     LLLLLM M M M M M M M M MLL 1 1 211 0 0 01 2 0 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 21 2 2 01 2 2 2n n nnnn       ． 5．计算五阶行列式222522 0 0 01 2 0 00 1 2 00 0 1 20 0 0 1 2aaaaD aaa aa． 解 方法一：一般地，对于此类 n 阶行列式，将其按第一行展开，得 2122n n nD D D， 则 21 1 2 2 3( ) ( )n n n n n nD D D D D D             15 2 2 2 221( ) [ (2 ) 2 ]n n nDD              ， 有 121 2 2( ) 2n n n nn n n nD D D D                111 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 )n n n n nD n n n              ， 所以 55 6Da ． 方法二：由习题二（ A）的第 5题，得 当  时，有 11l i m ( 1 ) l i m ( 1 )nn nnnD n n        ， 所以 55 6Da ． 6．计算 n 阶行列式012210 0 01 0 00 1 00000 0 0 1nnnxaxaxaDxaxaLLLM M M M MLL． 解 将行列式按第一行展开，得 10nnD xD a，则 22 1 0 2 1 0()n n nD x x D a a x D a x a      121 2 1 0nnnx D a x a x a      121 2 1 0()nnnnx x a a x a x a      11 1 0nnnx a x a x a    ． 7．已知 132 274 500 3874都能被 13 整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被 13 整除． 证 4142431000100101 3 2 6 1 3 2 1 3 2 62 7 4 3 2 7 4 2 7 4 35 0 0 5 5 0 0 5 0 0 53 8 7 4 3 8 7 3 8 7 4cccccc． 由已知，得后行列式的第 4 列具有公因子 13，所以原行列式能被 13 整除． 16 8． 证明 : 2 2 2 24 4 4 41 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d a b a c a d b c b d c d a b c da b c da b c d         ． 证 构造 5 阶行列式 2 2 2 2 253 3 3 3 34 4 4 4 41 1 1 1 1a b c d xD a b c d xa b c d xa b c d x， 则 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d          ． （ 1） 将 5D 按第 5列展开，得 435 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 4 4 4 41 1 1 1 1 1 1 1()a b c d a b c dD x xa b c d a b c da b c d a b c d   ． （ 2） 比较（ 1）与（ 2）右边 3x 的系数，知结论成立． 9． 证明：当 ba 4)1( 2  时，齐次线性方程组0)(,03,02,04321432143214321xbaxaxxxxxxxxxxaxxxx有非零解． 证 方程组的系数行列式 21 1 11 2 1 1 ( 1 ) 41 1 3 111aD a ba a b   ， 当 0D ，即 ba 4)1( 2  时，方程组有非零解． 10．应用题： （ 1） 1；（ 2） 01yx ． 习 题 三 （ A） 17 1． 下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵． 1203A ，1 0 0 00 1 0 00 0 1 0B， 1 0 04 2 0053C， 3 0 00 3 00 0 3D． 解 D 是 数量矩阵，也是对角矩阵； A 、 C 是三角矩阵； B 都不是． 2． 设矩阵 1 1 2 1 2 31 1 1 , 1 2 22 1 1 0 3 1AB                   ． （ 1）计算 2AB ； （ 2） 若 X 满足 32A X B ，求 X ． 解 （ 1） 3 4 72 1 0 04 1 1AB； （ 2） 1 1 02 3 5 7 76 9 5X B A    ． 3． 设有 3阶方阵 1 1 12 2 23 3 3a c dA a c da c d， 1 1 12 2 23 3 3b c dB b c db c d，且 1A ， 2B ，求 2AB ． 解 1 1 1 12 2 2 23 3 3 32 3 32 2 3 32 3 3a b c dA B a b c da b c d   1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 23 3 3 3 3 39( 2 ) 9( 2 ) 45a c d b c da c d b c d A Ba c d b c d      ． 4． 计算下列矩阵的乘积： （ 1）    16 6964 32． 解 原式 090 18． （ 2） 1 3 1 10 4 2 27 0 1 1          ． 18 解 原式 866． （ 3）   13 2 1 23． 解 原式 10 ． （ 4）  12 3 2 13． 解 原式 3 2 16429 6 3． （ 5）1 00200 20 1 0 0 1 00 0 3 1003． 解 原式 3E ． （ 6）   11 12 13 11 2 3 12 22 23 213 23 33 3a a a xx x x a a a xa a a x               ． 解 原式 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 32 2 2a x a x a x a x x a x x a x x     ． 5． 已知矩阵 1 0 30 2 10 0 1A， 1 0 00 2 1301B．求： （ 1） AB 与 BA ； （ 2） ))(( BABA  与 22 BA . 解 （ 1） 10 0 33 4 33 0 1AB， 1 0 30 4 33 0 10BA； 19 （ 2） 906( ) ( ) 6 0 06 0 9A B A B   ， 22 0 0 63 0 0600AB ． 6． 求与矩阵 1 ( 0)01aAa可交换的所有矩阵． 解 设与 A 可交换的矩阵 1234xxB xx．由 AB BA ，得 1 3 1 142 4 1 2 2 23 3 34 3 4 4 4, , 0 ,.x a x x xxx a x a x x x xx x xx a x x x x         令 24,x c x b，得0bcB b，其中 cb, 为任意常数． 7．利用归纳法， 计算下列矩阵的 k 次幂，其中 k 为正整数： （ 1） cos sinsin cos． 解 令 co s sinsin co sA  ，有 23c o s 2 s i n 2 c o s 3 s i n 3,s i n 2 c o s 2 s i n 3 c o s 3AA                则 c o s s ins in c o sk kkA  ． （ 2） 1201． 解 令 1201A ，有 2 3 41 4 1 6 1 8, , ,0 1 0 1 0 1A A A                 ，则 1201k kA ． （ 3） 1 1 00 1 10 0 1． 20 解 令 1 1 00 1 10 0 1A，有 2 3 4 51 2 1 1 3 3 1 4 6 1 5 100 1 2 , 0 1 3 , 0 1 4 , 0 1 5 ,0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1A A A A                                       则21010 0 1kkkCAk． 8． 已知矩阵  1 2 3  ， 11123 ，令 TA ，求 nA ，其中 n 为正整数． 解 1 1 1( ) ( ) ( ) 3 ( )n T T n T n T n TA       。