极大似然估计在生活中的应用(编辑修改稿)

极大似然估计在生活中的应用(编辑修改稿)内容摘要：

X f  ≥  ， 0,   ，则称估计量 ()nfX 为 ()f 的相合 估计。 在一些正则条件下，极大似然估计是相合估计，但在很多非正则的情况下也是 会碰到的。 让我们来看一下在非正则条件下的极大似然估计不相合的例子。 例 （ 1） 由于参数多造成的一个参数的极大似然估计不相合 如：22( , ) , , 1 , 2 , . . . ,iiiix N P i n        ， 2 的极大似然估计为  12 2 21421n i in xxn i     而不是 2。 （ 2） 由于密度 函数处处不连续而造成 极大似然估计 不 相合。 如 ,( 1 ) 11UX     若 为 有 理 数 ， 0 ≤ ≤， 若 为 无 理 数， 12, ,..., nX X X 为随机样本，似然函数：     n p1,( | ) |1,1 inpppnL x f xi         是 有 理 数是 无 理 数； 1 inpxi ，  的极大似然估计 pn ，当  是有理数， n  .但当  是无理数时， 1n  .可见 n 并不是都收敛于  ，所以不是  的相合估计 . （ 3）由于原分布为混合分布而造成极大似然估计有无穷个，所以不收敛于真值 . 例如： 22 2()() 221( | )22yyaaf y e e     其中 a 已知，若取, 1, 2 , . . . ,iy i n ，此时  su p |1 in fyi  ，可见任何 ( ,0)iy 都可作为  的极大似然估计，显然不收敛于真值  . 极大似然估计的渐进正态性 设 1( ,..., )nnXX 是  的估计，如果存在 2()n满足要求 (0,1)()nnN  则称 n 是  的渐进正态估计， 2()n称为 n 的渐进方差，记： 2( , ( ))nnAN    . 定理：假设  为开区间，概率密度函数 ( | ),px满足： （ 1） 在参数真值 0 的邻域内， 2 2 3 3/ , / , /I np I np I np       对所有的x 都存在。 （ 2） 在参数真值 0 的邻域内， 33| / |I n p H  ≤ （ x) 且 EH(x)； （ 3） 在 参 数 真 值 0 处，        0 0 00 0 0 002/ / / /, , ,0 , 0 , ( ) 0,P X P X P XIP                      E E E巢湖学院 2020 届本科毕业论文（设计） XIII 记 n 为 n 时似然方程的相合解则 001( ) ( 0 , ( ) )nn N I    在正则的情况下，定理的条件一般会满足的，故极大似然估计是渐进正态的；在非正则条件下极大似然估计也可能是渐进正态的。 例 设 12, ,..., ny y y 是来 自总体的一个样本，1 ||1 ,2 yY e R x R  该分部不是正则组，其对数似然函数为 ( | ) 2 | |1 inl y n I n yi    记 (1) (2) ( ), ,..., ny y y 为样本次序统计量，对上述似然函数进行分段可以写为： ( 1 )( ) ( ) ( 1 )( ) ( )2,1......( | ) 2 ( 2 ) ,11......2,1ii i m minnnI n y n yimnl y nI n y y n m y yiinnI n n y yi               ≥ 可见，当 2mn时 ( | )ly 是  的严格递增 函数；当 2mn时 ( | )ly 是  的递减函数，所以，若 n为奇数， 1()2ny 是  的极大似然估计；若 n为偶数则 ( ) ( 1)22nnyy与 之间任意值都是  的极大似然估计。 例如：取样本中位数  ) ( ) ( 1)221 +2 nnyy，很显然 是  的极大似然估计，对于此分布，  也是总体的中位数，由渐进分布定理得： 0 . 5( ) ( 0 , 1 )n m N 一般极大似然估计被认为是渐进正态的，但也有反例 . 如：对 (0,) 上的均匀分布，极大似然估计是 (n) x ，但 (n) x 的渐进分布是极值分布，而不是正态分布 . 总结 由以上几例，可以 得到 ： (一 ) 在非正则情况下，先要找到使之不正则未知参数集合。 针对这个集合是个别 点，还是一个区域，再分析造成非正则的原因，消除这个不正则的因素。 再用似 然原则，或者改变一点似然函数值来替代原似然函数，而不改变其实质，即称为 惩罚函数的办法。 如例 (三 )就不必用极大似然去考虑，而采用其它估计方法。 这当然离极大似然原则远一点，如果产生多个极大似然估计， 则可选择所有混合 下最优的 极大似然估计。 (二 ) 在非正则情况下，处理极大似然原则时，必然注意是否有样本点，使似然函 数只在边界点达 到极大，注意这个极大点有限唯一。 如果采用其他的估计法，方 程的根是否唯一，有可能是局部的极值点，若有很多根，我们只取使之达到最大 的根作为参数的极大似然估计。 (三 ) 从统计决策理论来看，任何统计推断都应依赖损失函数，而极大似然方法未 曾考虑到损失函数，难免让人觉得不满意。 因此，极大似然估计虽然有一些优良 性，虽然其应用很广，但有其局限性：有时极大似然估计并不存在如： （ 1） 有 时极大似然估计并不唯一； （ 2） 在一些非正则条件下极大似然估计也可能不相 合 ；（ 3） 有时极大似然估计并不是渐近正态的；这些情况，在应用的时候 也 应 注意。 2. 极大似然估计在生活中的 应用 上一章我们 通过对极大似然估计 的原理，求法，以及性质作了相关的阐述， 对极大似然估计也应该有了一定的认识。 极大似然估计在社会的各个领域中有很 广泛的应用，特别是在生活中的应用。 比如 在电器可靠性分析方面极大似然估计 法可以通过计算机软件处理，具有较高的计算精度，提高了对电器可靠性分析的 效率；在定位精度方面，该方法可 以使节点的定位精度大大提高；在交通流量预 测方面，通过该方法估计观测量与下游量之间的关系从而预测交通流量，大大减 巢湖学院 2020 届本科毕业论文（设计） XV 少估计值与实际值的误差率；在视频监控方面，该方法有效减低了信息获取过程 中噪声对摄像机标定的影响，能够得到较理想的摄像机标定效果。 现在让我们来 一一对极大似然估计在这些方面的应用进行分析、阐述。 极大似然估计在电器可靠性 失效分析中 的应用 传统电器可靠性寿命试验方法一般有全寿命试验方法、定时截尾试验方法、 定数结尾试验方法。 下面的实例我们运用全寿命试验方法和定时截尾试验方 法建 立数学模型。 （ 1） 全寿命试验方法 在一批电器产品中随机抽取 n 个样品进行寿命试验，试验到全部样品失效，得到 n 个失效时间分别为 12, ,..., nt t t 用这些全部子样的数据估计失效分布中的未知参数。 （ 2） 定时截尾试验法 假设从某型号的电器产品中抽取 n 个样品进行寿命试验，试验到全部截止时 间 lt 为止，共有 k 个产品失效，其失效时间从小到大排序为 12... lt t tk≤ ≤ t≤ ，而另外的 nk 样品在 ,)lt( 内失效，用这些截尾子样数据估计失效分布中的未知特征参数。 某研究所对某公司的 15 个某型号的电阻器进行可靠性寿命试验，当出现 7 个电阻器失效时结束试验，其统计的失败的数据如下表所示 失效时间数据 n 1 2 3 4 5 6 7 n 4t( 10) 分别假 设失效的时间数据服从指数分布，正态分布，威布尔分布，用极大似然估 计的方法得到如下表： 分布类型 特征参数 均方误差 指数分布 10    正态分布 10 , 10  ,   威布儿分布 ,   10  m, ,E   因为  2, , , , ,m i n E ,E , m v m vEE    ,所以本题的失效分布为威布尔分布 . 通过运用图估计法、最好线性无偏点估计法及最好线性无偏区间估计法对上面的 实例进行分析计算，结果如下表： 计算结果比较 参数 m 5/10 1 极大似然估计法 图估计法 最好线性无偏估计法 最好线性无偏区间估计法 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 96% 90% 80% 由上表可知极大似然估计法与图估计法、最好线性无偏点估计法一样，其估计 结果都在最好线性无偏估计区间中，所以，极大似然估计方法是有效的。 总结 ： （ 1） 对于全寿命试验，指数分布和正太分布的特征参数可以直接由相应的似然 方程进行估计，威尔分布的特征参数可以利用非线性规划计算方法进行估计；对 于截寿命试验，无论是哪一种分布，其特征参数都需采用非线性规划计算方法进 行估计。 （ 2） 采用均方误差最小原则作为失效分布判别准则，可以有效的确定失效分布 的类型。 巢湖学院 2020 届本科毕业论文（设计） XVII （ 3） 此方法可以由计算机。