高等数学考前要点复习(编辑修改稿)

高等数学考前要点复习(编辑修改稿)内容摘要：

N ，当 Nn 时， 21 axn，考虑 1212111   axaxxx nnnn ，而nx ， 1nx 总是一个“ 1”，一个“ 1 ”，所以 11  nn xx ,所以矛盾， 所以 1)1(  nnx 发散。 定理 2. （有界性）若数列 nx 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 nx ，若  正数 M ，对一切 n ，有 Mxn 。 证明 ：设 axnn lim，由定义对 ,1 自然数 ,N 当 Nn 时， 1 axn ，所以当 Nn时， aaaxx nn  1，令 }1,{ 21 axxxM a xM N  ，显然对一切 n ，Mxn 。 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。 例如数列 1)1(  nnx 是有界的（ 1nx ），但函数收敛。 此点希望注意。 167。 4 函数的极限 由上节知，数列是自变量取自然数时的函数， )(nfxn  ，因此，数列是函数的一种特性情况。 此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。 它主要表现在两个方面： 一、 自变量 x 任意接近于有限值 0x ，或讲趋向（于） 0x （记 0xx ）时，相应的函数值 )(xf 的变化情况。 二、当自变量 x 的绝对值 x 无限增大，或讲趋向无穷大（记 x ）时，相应的函数值 )(xf 的变化情况。 一、 自变量趋向有限值 0x 时函数的极限 与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值 0x 时的函数极限可理解为：当 0xx 时，Axf )( （ A 为某常数），即当 0xx 时， )(xf 与 A 无限地接近，或说 Axf )( 可 任意 14 小，亦即对于预先任意给定的正整数  （不论多么小），当 x 与 0x 充分接近时，可使得Axf )( 小于 。 用数学的语言说，即 定义 1：如果对 0 （不论它多么小），总 0 ，使得对于适合不等式  00 xx 的一切 x 所对应的函数值 )(xf 满足： Axf )( ，就称常数 A 为函数 )(xf 当0xx 时的极限，记为 Axfn  )(lim，或 Axf )( （当 0xx 时） 注 1：“ x 与 0x 充分接近”在定义中表现为： 0 ，有  00 xx ，即 ),( 0  xUx。 显然  越小， x 与 0x 接近就越好，此  与数列极限中 的 N 所起的作用是一样的，它也依赖于 。 一般地，  越小，  相应地也小一些。 2：定义中 00 xx 表示 0xx ，这说明当 0xx 时， )(xf 有无限与 )( 0xf 在 0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与 )( 0xf 值也无关）。 3：几何解释：对 0 ，作两条平行直线   AyAy ,。 由定义，对此 0, 。 当   00 xxx ，且 0xx 时，有   AxfA )(。 即函 数)(xfy 的图形夹在直线   AyAy , 之间（ )( 0xf 可能除外）。 换言之：当 ),( 0  xUx 时， ),()( AUxf 。 从图中也可见  不唯一。 【例 1】 证明 CCxx 0lim （ C 为一常数） 证明：对 0 ，可取任一正数  ，当  00 xx 时，  0)( CCAxf ， 所以 CCxx 0lim。 【例 2】 证明 )0()(lim00  abaxbaxxx 证明：对 0 ，要使得  000 )()()( xxaxxabaxbax ，只须 axx  0， 所以取 0a显然当  0xx 时，有  )()( 0 baxbax。 15 【例 3】 证明 3212 1lim 2 21  xxxx。 证明：对 0 ，因为 ,1a 所以)12(3 13212 13212 22  x xxxxx xx [此处 1x ，即考虑 10x 附近的情况，故不妨限制 x 为 110  x ，即 20  x ，1x ]。 因为 3 1)12(3 1,112  xx xx ，要使  3212 122xxx,只须 31x ，即 31x。 取 }3,1min{   （从图形中解释），当  10 x 时，有  3212 122xxx。 定理 1：（保号性）设 Axfxx  )(lim0， （ i） 若 )0(0  AA ，则 0 ，当 ),( 0  xUx 时， 0)( xf )0)(( xf。 （ ii） 若 )0)((0)(  xfxf ，必有 )0(0  AA。 证明：（ i）先证 0A 的情形。 取 2A ，由定义，对此 0,  ，当 ),( 0  xUx 时，2)( AAxf   ，即 0)(232)(220  xfAAAxfAAA。 当 0A 时，取 2A ，同理得证。 （ ii） (反证法 )若 0A ，由 (i) 0)(  xf 矛盾，所以 0A。 当 0)( xf 时，类似可证。 注： (i)中的“  ”，“  ”不能改为“  ”，“  ”。 在 (ii)中，若 0)( xf ，未必有 0A。 在函数极限 的定义中， x 是既从 0x 的左边（即从小于 0x 的方向）趋于 0x ，也从 0x 的右边（即从大于 0x 的方向）趋于 0x。 但有时只能或需要 x 从 0x 的某一侧趋于 0x 的极限。 如分段函数及在区间的端点处等等。 这样，就有必要引进单侧极限的定义： 16 定义 2：对 0 ， 0 ，当 00 xxx   时， [当  00 xxx 时 ]，有  Axf )( .这时就称 A 为 )(xf 当 0xx 时的左 [右 ]极限，记为 Axfxx  )(lim 00或 Axf  )0(。 [ Axfxx  )(lim 00或 Axf  )0( 0 ]。 定理 2： AxfxfAxfxxxxxx   )(lim)(lim)(lim 00 000。 【例 4】 1)s g n (lim,1)s g n (lim0000   xx xx，因为 11 ，所以 )sgn(lim0 xx不存在。 【例 5】设   012 01)( xx xxf，求 )(lim0 xfx。 解：显然 11lim)(lim0000   xx xf 1)12(lim)(lim0000   xxf xx 因为 1)(lim)(lim0000   xfxf xx，所以 1)(lim0  xfx。 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 定义 3：设 )(xf 当 )0(  aax 时是有定义的，若对 )(,0 aX  ，当 Xx 时，有Axf )( ，就称 A 为 )(xf 当 x 时的极限，记为 Axfx  )(lim 或 Axf )(（当 x 时）。 注 1：设 )(xf 在 ]),((),[ ba  上有定义，若对 0,0  X ，当 )( XxXx  时，有 Axf )( ，就称 A 为 )(xf 当 )(  xx 时的极限，记为Axfx  )(lim ，或 Axf )( （当 x ）（ Axfx  )(lim ，或 Axf )( （当x ））。 2： AxfxfAxfxxx   )(lim)(lim)(lim。 3：若 Axfx  )(lim，就称 Ay 为 )(xfy 的图形的水平渐近线（若 Axfx  )(lim或Axfx  )(lim ，有类似的渐近线）。 【例 6】 证明 0sinlim  xxx。 证明：对 0 ，因为xxxxx 1s in0s in ，所以要使得 0sinxx， 只须 17  11  xx，故取 1X ，所以当 Xx 时，有 0sinxx，所以0sinlim  xxx。 167。 5 无穷小与无穷大 一、无穷小 若 )(xf 当 0xx 或 x 时的极限为零，就称 )(xf 为当 0xx 或 x 时的无穷小，即有 定义 1：对 ,0 若 )0(0  X ，使得当 )(0 0 Xxxx   时，有 )(xf 成立，就称 )(xf 为当 )(0  xxx 时的无穷小，记为 )0)(lim(0)(lim0   xfxf xxx。 注 1：除上两种之外，还有 0,0, 00  xxxxxx 的情形。 2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为 0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是 0 函数，由此得： 0 是唯一可作为无穷小的常数。 【例 1】 因为 0422)42(lim2  xx，所以 42x 当 2x 时为无穷小； 同理： 0sinlim  xxx，所以 xxsin 当 x 时为无穷小， 而 04)42(lim0  xx，所以 42x 当 0x 时不是无穷小。 定理 1：当自变量在同一变化过程 0xx （或 x ）中时： （ i） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即： A 为 )(xf 的极限 Axf  )( 为无穷小。 （ ii） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限（证明在下一节）。 二、无穷大 若当 0xx 或 x 时 )(xf ，就称 )(xf 为当 0xx 或 x 时的无穷大。 定义 2：若对 )0(0,0  XM  ，使得当 )(0 0 Xxxx   时，有 Mxf )( ，就称 )(xf 当 )(0  xxx 时的无穷大，记作 : ))(lim()(lim0   xfxf xxx。 注 1：同理还有  )(,)( xfxf 时的定义。 18 2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 3：若  )(lim0 xfxx或  )(lim xfx，按通常意义将， )(xf 的极限不存在。 【例 2】 可证明  20 1limxx，所以当 0x 时21x为无穷 大。 定理 2：当自变量在同一变化过程中时， （ i）若 )(xf 为无穷大，则)(1xf为无穷小。 （ ii）若 )(xf 为无穷小，且 0)( xf ，则)(1xf为无穷大。 （证明自己看） 167。 6 极限运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理 1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 0)lim (0lim,0lim   （证明在后面）。 注 1： u 与  都表示函数 )(xu 与 )(x ，而不是常数。 2： “ lim ”下放没标自变量的变化过程，这说明对 0xx 及 x 均成立，但须同一过程。 定理 2：有界 函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 u 有界， 0lim0lim   u。 证明：证明 0xx 时的情况，设函数 u 在 0x 的某邻域 ),( 10 xU 内有界，即 0M ，当),( 10 xUx 时，有 Mu ，又设  为当 0xx 时的无穷小，即 0lim0  xx，故对 )(0,0 1  ，当 ),( 0  xUx 时，有   MMuuM 所以 0lim0  uxx，即 u 为无穷小；同理可证 x 时的情形。 推论 1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若 k 为常数， 0lim0lim   k。 推论 2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设 0)l i m (0limlimlim 2121 。